重难点2-5三角形中的范围与最值问题（七类核心考点题型）-2024届高三数学二轮复习

重难点2-4 三角形中的范围与最值问题（七类核心考点题型） （原卷版） 【方法归纳】在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值． 【题型总结】 题型一 边长类最值及范围问题 【例题1】．（2024·浙江义乌高三学校联考期末）已知锐角内角的对边分别为.若. (1)求； (2)若，求的范围. 【例题2】（2023秋·吉林长春高三质量检测）在①；②；③.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题. 在中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，的面积为S，且满足___________ (1)求A的大小； (2)设的面积为，点D在边上，且，求的最小值. 【例题3】．（2023·四川泸州高三联考）在中，内角，，所对的边分别，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围. 【变式1-1】．（2023秋·山东青岛高三第一次模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)设BC的中点为D，且，求的取值范围． 【变式1-2】（2023秋·安徽合肥市第七中学校考三模）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 【变式1-3】（2023秋·山西长治高三统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）求证：； （2）若是锐角三角形，，求的范围. 【变式1-4】（2023秋·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，． (1)若，求；(2)求的取值范围． 【变式1-5】（2023·云南大理统考一模）在中，分别为内角的对边，. （1）若，求的值；（2）求的最大值. 题型二 中线及高线类最值及范围问题 【例题1】．（2023·宁夏银川一中三模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 【例题2】．（2023辽宁鞍山市第一中学校校考一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且． (1)求角的取值范围；(2)若，求中边上的高的取值范围． 【变式2-1】．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2023·河北保定高三模拟预测）在锐角三角形中，，． (1)求．(2)求边上的高的取值范围． 题型三 三角形外接圆、内切圆半径类范围问题 【例题1】．（2023·河北保定高三模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围． 【例题2】．（2023·山东济南统考二模）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，． (1)求角B的大小；(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围． 【变式3-1】．（2023·河南开封七校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且. (1)求的外接圆半径；(2)求内切圆半径的取值范围. 题型四 角度类最值及范围问题 【例题1】．（2023·陕西咸阳高三模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题2】．（2023·河北唐山高三专题检测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求；(2)求的取值范围. 【例题3】．（2023·江苏扬州统考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，已知. (1)证明：；(2)求的取值范围. 【变式4-1】（2023·福建福州·统考二模）记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求的值：（2）求的最大值． 【变式4-2】（2023·陕西宝鸡高级中学校考三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，． (1)证明：；(2)求的取值范围． 【变式4-3】（2023秋·河南洛阳高三专题检测）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 【变式4-4】（2023秋·山西长治高三附中校考）在锐角中，角所对的边分别是，满足. （1）求证：；（2）求的取值范围. 【变式4-5】．（2023·四川绵阳统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且． (1)求；(2)求的取值范围． 题型五 周长类最值及范围问题 【例题1】．（2023·辽宁大连高三开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围