专题七空间向量与立体几何-2024届高三数学二轮专题复习

专题七 空间向量与立体几何 一、选择题 1．已知向量，单位向量b满足，则a，b的夹角为( ) A. B. C. D. 2．如图所示的是正方体的平面展开图.关于这个正方体，有以下说法： ①ED与NF所成的角为； ②平面AFB； ③； ④平面平面NCF. 其中正确说法的序号是( ) A.①③ B.②③ C.①②④ D.②③④ 3．如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，E，F分别是AB，BC的中点，P为SD上一点，且，Q为正方形ABCD内一点（包含边界）.若平面SEF，则Q的运动轨迹的长度为( ) A. B. C. D. 4．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为，下底面内侧边长为，侧棱长为.将“方斗”内的大米铺平（即与下底面平行），测得铺平后的大米所在的四边形边长为.已知大米的体积约为，则方斗内剩余的大米质量约为( )（参考数据：，，结果保留整数） A. B. C. D. 5．如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为( ) A. B. C. D. 6．如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，，给出下列结论： ①AB与是相交直线； ②平面； ③平面平面； ④平面， 其中正确的结论是( ) A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 7．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角的大小为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 8．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为上的一个动点，则下列选项中错误的是( ) A.三棱锥的体积为定值 B.存在点G，使平面EFG C.存在点G，使平面平面 D.设直线FG与平面所成角为，则的最大值为 二、多项选择题 9．如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( ) A. B. C. D. 10．如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则( ) A. B. C. D. 11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，有下列判断，其中正确的是( ) A.平面平面 B.平面 C.异面直线与所成角的取值范围是 D.三棱锥的体积不变 12．如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，如图2，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是( ) A.平面平面BCD B.当，时，点D到直线PQ的距离为 C.线段PQ的最小值为 D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 三、填空题 13．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为___________. 14．如图，在正方体中，M，N分别是棱，的中点，P是棱上靠近的四等分点，过M，N，P三点的平面交棱BC于点Q.设，则____________. 15．已知图（1）中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图（2）所示的多面体，则以下结论正确的是___________（写出所有正确结论的序号）. ①是正三角形； ②平面平面CGH； ③直线CG与平面AEF所成角的正切值为； ④当时，多面体的体积为. 四、双空题 16．已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则___________；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为__________. 五、解答题 17．如图，在三棱柱中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）设，，求四棱锥的高. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，是边长为2的等边三角形，平面平面，，，S为CD的中点. （1）求证：. （2）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值. 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，G为CD的中点，E，F是棱PD上两点（F在E的上方），且. （1）若平面AEG，求DE； （2）当点F到平面AEC的距离取得最大值时，求直线AG与平面AEC所成角的正弦值. 20．已知三棱锥[如图（1）]的平面展开图[如图（2）]中，四边形ABCD是边长为的正方形，和均为等边三角形. （1）证明：平面平面ABC. （2）棱PA上是否存在一点M