第02讲 基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第2讲　基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练） 【知识导图】 【考点分析】 考点一　基本初等函数的图象与性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同． 1．（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点二　函数的零点 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 1．单选题（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（单选题）如图，偶函数的图象形如字母M（图1），奇函数的图象形如字母N（图2），若方程，的实根个数分别为a，b，则（    ）    A．18 B．21 C．24 D．27 3．多选题（2024·全国·模拟预测）设函数，函数．则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，函数只有1个零点 C．当时，函数有5个零点 D．存在实数，使得函数没有零点 4．多选题（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若函数无极值点，则没有零点 B．若函数无零点，则没有极值点 C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点 D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点 5.填空题 （2024上·江苏淮安期末）函数的零点所在的区间为，则正整数的值为 ． 考向1　函数零点个数的判断 一、单选题 1．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2023上·山东泰安校考阶段练习）给出下列结论，其中不正确的是（    ） A．函数的最大值为. B．已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．已知定义在上的奇函数在内有1011个零点，则函数的零点个数为2023 3．（2023上·辽宁大连西南大学附中校考期末）函数的零点个数可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 4．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若函数满足，且 时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为 考向2　求参数的值或范围 一、单选题 1．（2023上·上海曹杨二中校考期末）已知函数满足，且当时，.若在区间上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 3．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）定义在上的奇函数，已知当时，． (1)求的值； (2)若使不等式成立，求实数m的取值范围； (3)设，若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 考点三　函数模型及其应用 1．解答题（2024上·上海松江期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 90 95 100 95 90 已知第10天的日销售收入为459元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型：①;② ；③ ；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式： (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值. 2．解答题（2024上·广东揭阳·高一统考期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． (1)试确定的值，并解释其实际意义； (2)设． 方案1：用3个单位量的水，清洗一次； 方案