专题17.6 勾股定理章末八大题型总结（培优篇）-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题17.6 勾股定理章末八大题型总结（培优篇） 【人教版】 【题型1 勾股数的运用】 1 【题型2 勾股树的探究】 2 【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】 3 【题型4 由勾股定理探究图形面积】 5 【题型5 由勾股定理求线段长度】 6 【题型6 由勾股定理证明线段之间的关系】 8 【题型7 勾股定理中的规律探究】 9 【题型8 由勾股定理求最值】 11 【题型1 勾股数的运用】 【例1】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组是勾股数的是（　　） A． B． C．，，c＝ D． 【变式1-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【变式1-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（    ） A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤ 【题型2 勾股树的探究】 【例2】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ． 【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，…，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为． 设第一个正方形的边长为1． 请解答下列问题： （1） ． （2）通过探究，用含的代数式表示，则 ． 【变式2-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】 【例3】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是（    ）    A．3 B． C． D． 【变式3-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直面坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而；表示－3和2两点之间的距离是：而；表示和两点之间的距离是3，而，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为． （1）数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为___； 【探索