5.2.1 等差数列（4知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

5.2.1 等差数列 课程标准 学习目标 （1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念； （2）掌握等差数列通项公式的意义； （3）掌握等差数列的判定方法 （4）理解并掌握等差中项的概念及其应用； （5）理解并掌握等差数列的项与序号之间的规律及其应用； （6）能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题。 （1）通过对等差数列概念、通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养； （2）通过等差数列中项、性质的学习培养逻辑推理、数学运算的素养； （3）通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养。 知识点01 等差数列的概念 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、递推公式：（为常数，） 3、等差数列定义的理解 （1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． （3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 【即学即练1】（2022·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（ ）． A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001 C．a，a，a，a D．，，， 知识点02 等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式及推广 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 该式可推广为 2、等差数列通项公式的推导过程 如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到： ，，，… 所以，，，…… 由此归纳出等差数列的通项公式为． 3、等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且. 在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项。 【即学即练2】（2023·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ） A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列 C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为 知识点03 等差数列与函数的关系 1、等差数列与一次函数的异同点： 等差数列 一次函数 不同点 解析式 公差、斜率 公差 斜率 定义域 图像 位于同一直线上的一系列孤立的点 一条直线 相同点 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式 2、等差数列的单调性 等差数列中，若公差，则数列为递增数列；若公差，则数列为递减数列；若公差，则数列为常数列，不增也不减。 【即学即练3】（2022·宁夏银川·高二校考期中）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点04 等差数列的性质 1、角标和对称性 （1）若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. （2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 2、子数列的性质：从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。 3、由等差数列衍生的新数列 若，分别是公差为，的等差数列，则有 数列 结论 公差为的等差数列（c为任一常数） 公差为的等差数列（c为任一常数） 公差为的等差数列（k为常数，k∈N*） 公差为的等差数列(p，q是常数) 【即学即练4】（2023·高二课时练习）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【题型一：数列数列的通项与基本量】 例1．（2023·江苏淮安·高二统考期末）在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A． B． C．1 D．2 变式1-1．（2024·北京顺义·高二统考期末）已知等差数列的首项为，且，则 . 变式1-2．（2024·安徽芜湖·高二统考期末）已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为 ． 变式1-3．（2024·云南玉溪·高二统考期末）已知数