重难点07 三角函数的图象与性质的综合应用【八大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

重难点07 三角函数的图象与性质的综合应用【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 三角函数的图象识别与应用】 3 【题型2 三角函数图象变换问题】 4 【题型3 三角函数的值域与最值问题】 6 【题型4 含三角函数的二次函数模型】 6 【题型5 含绝对值的三角函数模型】 8 【题型6 ω的取值与最值（范围）问题】 8 【题型7 三角函数的综合性质的研究】 9 【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】 11 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要从以下几个方面进行考查： 一、三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度较低； 二、利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调区间、含参问题等，主要以解答题的形式考查，中等难度. 三、三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题中等难度． 【知识点1 三角函数的图象变换规律】 1.平移变换与伸缩变换法则 (1)平移变换 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换； (2)伸缩变换 ①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）； ②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）． 2.三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 【知识点2 三角函数的单调性问题的求解策略】 1.三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【知识点3 三角函数的值域与最值问题的求解策略】 1.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 2.求三角函数最值的基本思路 (1)将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解. (2)将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. (3)利用导数判断单调性从而求解. 【知识点4 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】 1.三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 3.三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【知识点5 含绝对值的三角函数模型】 关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至