专题3-6 圆的综合（27类题型）-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题3-6 圆的综合（27类题型） 圆的综合问题常用的规律方法 模块一 圆中常见辅助线 【题型1】遇到弦时 【题型2】遇到有直径时 【题型3】遇到有切线时 【题型4】遇到两相交切线时 【题型5】遇到三角形的内切圆时 【题型6】遇到三角形的外接圆时 模块二 切线证明 类型1 有公共点：连半径，证垂直 【题型7】 特殊角计算证垂直 【题型8】 勾股定理逆定理证垂直 【题型9】 通过平行线代换证垂直 【题型10】利用等角代换法证明垂直 【题型11】利用三角形全等证明垂直 类型2 无公共点：作垂直，证半径 【题型12】角平分线的性质证半径 【题型13】特殊角计算证垂直 模块三 圆中求线段长度 【题型14】结合勾股定理求线段长 【题型15】结合三角函数求线段长 【题型16】结合相似求线段长 【题型17】利用旋转变换求线段长 模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题 【题型18】和差法（割补） 【题型19】拼接法（等积变形） 模块五 其它类型 【题型20】与圆锥的相关计算 【题型21】圆内接四边形 【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明 【题型23】圆与相似综合2：线段积问题 【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分） 【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题 【题型26】求圆周角的三角函数值 【题型27】圆中的翻折 圆的综合问题常用的规律方法： 技法01：第一问常考考点——切线，对应规律 ①切线的判定：常用方法 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ ☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥” ②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！ 因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题 技法02：考题常见结合考点 ①知2得1： ②三角形相似： ③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似； 特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△ ④特殊角及其转化： 技法03：常见辅助线 ①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径 ②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3 ——或做两条弦心距，构造矩形或正方形 ③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题 技法04：圆中等积式证明（三角形相似） 圆中的等积式证明主要有下面几种形式： （1） （2） （3） （4）（证a为定值） 其中第（1）（2）的形式属最简单的形式，只需要将线段乘积写成比例的形式（）然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中的线段替换为其他相等的线段情况； 第（3）种形式和第（2）种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题，将系数分配给某一线段； 第(4)种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成的形式，括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。 【圆中的相似模型】 (1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90°;同弧所对圆周角相等) (2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似) (3)已知线段比例关系,利用公共角及两边对应成比例证相似 技法05：求阴影部分面积 求阴影部分面积主要有2种形式：①割补法，②等级变形（拼接） 模块一 圆中常见辅助线 【题型1】遇到弦时 处理方式：常添加弦心距 1． 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦所在直线的距离是2，则的半径长为 米． 2． 如图，的半径为，弦的长为，P是弦上一动点，则线段长的最小值为（   ）    A．10 B． C．5 D． 3． （2022·安徽中考）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 4． 如图，是的直径，弦交于点，，点是的中点，且，则 ． 5． 已知的半径是5cm，弦，，，则与的距离是（    ） A． B．或 C．5cm或 D． 6． 如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型2】遇到直径时 处理方式：常添加（画）直径所对的圆周角 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。 7． 如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的度数为 °． 8． 如图，点、、C、均在上，为直径，．若，求的度数． 9． 如图，在中，，以为直径作，交线段于点，过点作于点