重难点02：数列前n项和常见的10种解题策略（最全数列前n项和求法）（课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

重难点02：数列前n项和常见的10种解题策略 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 通 项 中 项 性 质 求和公式 关系式 适用所有数列 a,A,b成等差数列，则 a,G,b成等比数列，则 若m+n=p+q则 若m+n=p+q则 仍成等差 仍成等比 温故知新 等差数列判定方法： （1）定义法： （2）递推公式法： （3）看通项法： （4）看前n项和法： 等比数列判定方法： （1）定义法： （2）递推公式法： （3）看通项法： （4）看前n项和法： 公式法（方程思想） ①等差数列的前n项和公式： ②等比数列的前n项和公式 ③ ④ ⑤ 例1 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn. 解： S10=310，S20=1 220 题型一：等差数列求前n项和 6 变式．已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.求前30项的和 【解析】由等差数列的性质，不难推得： 成等差数列 所以有 解得：前30项的和为2730 。 成等差数列 7 例2求和： 题型二：等比数列求前n项和 题型三：裂项求和法 常见的拆项公式有： 变式、求 解：其“通项” ∴ 设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 ，则由题意得 解析： 通项特征： 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法： 错位相减法——错项法 例11 已知数列{an}是等差数列，d>0,数列{bn}是等比数列，又a1＝b1 (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式； (2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn ＝1 ，a2b2＝2，a3 b3 = ． 方法四：错位相减求和法 两式相减： 错位相减法 错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法，即将数列中的各项乘以一个适当的数(式)．然后错开一位相减，使数列中的一些项相互抵消或形成规律，从而得出数列的前n项和．此种方法常用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列． 规律方法 拓展：错位相减的特殊求法 题型五：倒序相加法 解： 例5: 变式：在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝_________。 解：令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°， 则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加可得 2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89， 故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5. 奇偶 配对   题型六：并项求和法 变式1. 求 解: 题型七：分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列 题型十：周期求和法 题型十一：其它求和法 题型十二：走进高考 变式 已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21. (1)求{an}的通项公式； (2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＝9,a1＋4d＝21))解得a1＝5，d＝4. ∴{an}的通项公式为an＝4n＋1. (2)由an＝4n＋1得bn＝24n＋1，bn＋1＝24(n＋1)＋1 ∴eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(24n＋1＋1,24n＋1)＝24. ∴{bn}是以b1＝25为首项，公比为q＝24的等比数列． 由等比数列前n项和公式得： Sn＝eq \f(251－24n,1－24)＝eq \f(3224n－1,15). 【例3】 在数列{an}中，an＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(2,n＋1)＋…＋eq \f(n,n＋1)，又bn＝eq \f(2,an·an＋1)，求数列{bn}的前n项的和． 变式 求和Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n. 解：因为Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n－1＋(3n－2)×2n，① 2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－2)－2]×2n－1＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1，② 所以①－②得 －Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1 ＝3×(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×(2n