重难点01：常见数列通项的20种解题策略（最全数列通项的求法）（课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

重难点01：常见数列通项的20种解题策略 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 通 项 中 项 性 质 求和公式 关系式 适用所有数列 a,A,b成等差数列，则 a,G,b成等比数列，则 若m+n=p+q则 若m+n=p+q则 仍成等差 仍成等比 温故知新 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系 例1.分别写出下列数列的一个通项公式． 题型一：观察法 总结: (1)掌握基本数列的通项公式. (2)分数形式的数列,保持分数线,分子分母分别找通项. (3)当数列中有分数,又有整数时,需要把整数化成分数,即将分母补齐,然后分子分母分别找通项. (4)数列中的项正负交叉出现时,常用 (-1)n+1或(-1)n-1来调解.当数列中的项是负正出现时,常用(-1)n来调解. (5)有的数列虽然有通项公式,但通项公式不唯一. (6)并不是所有的数列都有通项公式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 题型二：由递推公式求通项 在等差数列通项公式中，有四个量， 知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 . 题型三：等差数列公式求通项 例3 (1)求等差数列9,5,1,…的第10项； (2)已知等差数列｛an},an=4n-3,求a1和d. 解(1)由a1 = 9,d=5-9 = -4,得 a10=a1 +(n-l)d=9+(10-l)×(-4) = -27. (2)由an =4n-3,得 a1=4×1-3 = 1, 且 d=a2-a1 =(4×2-3) -1 = 4. 所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4. 变式 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 解： ⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49. ⑵由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1). 由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项. 等比数列的通项公式 当q=1时，这是一个常数列。 等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为 题型四：等比数列公式求通项 例4 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值. 解 设等比数列的首项为 ，公比为q,则由已知，得 ② ① 将①式代入②式，得 解得 q =-3或q =2. 故数列的第8项是-4 374或256. 变式：已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求an.       解题步骤： （2）再利用累加法(逐差相加法)求解     题型五：累加法   变式： 在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an. 练： 09:12:58 累乘法 题型六：累乘法 09:12:58 例6：在数列 中，已知 ， 若 ，求数列通项 变式：   两边同除以             题型七：构造等差数列     解（法一）： 两边同除以       上面各式累加可得 解（法二）：   两边同除以   则可考虑待定系数法设     通用方法：待定系数法           题型八：构造等比数列 例8： 形如 的递推式 分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好 一、形如 通用方法：待定系数法     用待定系数法设           单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例9. 用待定系数法设           例10. 已知前n项和，求通项公式 题型九：前n项和法 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式. 例11：   方法总结         解:当n=1时, a1=s1=31_2=1 当n ≥ 2时, an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=3×3n-1_3n-1 =2×3n-1 由于a1=1不适合上式. ∴ an=