5.1.2 数列的递推（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

5.1.2 数列的递推 课程标准 学习目标 （1）理解递推公式的含义，掌握递推公式的应用； （2）理解数列的前项和，掌握由求。 （1）理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项； （2）了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式。 知识点01 数列的递推关系 1、数列的递推公式 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称递推公式或递归公式） 2、数列的通项公式与递推公式的区别与联系 递推公式 通项公式 区别 表示与它的前一项（或前几项）之间的关系 表示与之间的关系 联系 （1）都是表示数列的一种方法； （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式。 【即学即练1】（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 知识点02 数列的前项和 1、概念：一般地，给定数列，称为数列的前项和。 2、与的关系：一般地，如果数列的前项和为，那么当，由， ，所以，因此 【即学即练2】（2022·广东江门·高二统考期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【题型一：由递推关系求数列的项】 例1．（2023·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知数列满足，且，那么（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 变式1-1．（2023·广东·高二校联考期末）在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ） A．-1 B．-2 C．3 D． 变式1-2．（2023·广东广州·高二统考期末）已知数列满足，（），则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式1-3．（2023·河南开封·高二统考期末）已知数列的首项为，递推公式为，则 ． 变式1-4．（2023·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值集合为 . 【方法技巧与总结】 根据递推关系写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可。 另外，解决这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。 【题型二：求数列的递推关系式】 例2．（2023·全国·高二课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： （1）1，2，4，7，11，…； （2），2，5，8，11，…； （3）1，，4，，16，…． 变式2-1．（2023·重庆九龙坡·高二统考期末）数列的递推公式可以是（ ） A． B． C． D． 变式2-2．（2022·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（ ） A．， B．，， C．， D．，， 变式2-3．（2023·江西抚州·高二抚州市第一中学校考阶段练习）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（ ） A． B． C． D． 变式2-4．（2024·全国·高三专题练习）（多选）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ） A． B．是奇数 C． D． 【方法技巧与总结】 根据已知数列，确定相邻两项或相邻三项的关系。 【题型三：数列周期性的应用】 例3．（2023·天津宁河·高二统考期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 变式3-1．（2023·广西南宁·高二统考期末）已知数列满足，，则 （ ） A． B．2 C．12 D．33 变式3-2．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）已知数列满足，（），则（ ） A． B．0 C． D．2 变式3-3