浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题

杭州二中2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 函数零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则“”是“为偶函数”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四个函数中某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 8. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 设是第一象限角，则为第一或第三象限角 B. C. 在中，若点满足，则是的重心 D. 10. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数是周期函数 D. 函数是减函数 11. 已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ） A. 图象的对称中心为 B. 在上的值域为 C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象 D. 在上单调递减 12. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 最大值为9 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为_____________． 14. 若，，，则，，三数中最小数为_________. 15. 在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为__________. 16. 对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且. （1）求，的值； （2）求的值. 18. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. （1）设，，求的值； （2）若，求的大小. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，. （1）求角的大小； （2）若，的周长为，面积为，求的最大值. 20. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤. （1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积； （2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围. 21. 设，函数，. （1）讨论函数的零点个数； （2）若函数有两个零点，，试证明：. 杭州二中2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B