2024年四川省成都市中考数学二轮复习专题 二次函数--线段关系专项训练

2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--线段关系专项训练（学生版） 目标层级图 课中讲解 一.两线段（或多线段）比值的最值与定值问题 内容讲解 分析：基本的方法仍然是设坐标处理，问到两个线段的比值时我们可以用相似来转化，有可能会出现定值或变化的情况。也有一些题目是多条线段的比值或者加减，我们先从几何的角都进行转化，然后再利用两点间距离公式进行计算。 例题：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； 解：如图1中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于． ， ， ， 直线与轴交于点，则， 的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时． 题型一：两条线段的比值 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，点的坐标为，与轴于交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图， ①求点的坐标及的半径； ②过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 过关检测 1.如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上的一个动点，且点在第一象限内．轴于点，点坐标为，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线与相交于点，连结．设线段的长为，的面积为． （1）当时，求的值． （2）求关于的函数解析式． （3）①若时，求的值； ②当时，设，猜想与的数量关系并证明． 题型二：多条线段的比值 例2.在平面直角坐标系中，已知抛物线，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限． （1）如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点． 若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标； 取的中点，连接，．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 过关检测 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数）的图象与轴交于点，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线，，为常数，且经过，两点，并与轴的正半轴交于点． （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设是轴右侧抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点．是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程． 题型三：线段的和或积 例3.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点．抛物线经过、、三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若的切线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，切点为，且，试判断直线是否经过抛物线的顶点？说明理由； （3）点是位于轴右侧上的一动点，连结交轴于点，问是否存在一个常数．始终满足？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 过关检测 3.如图，抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线上轴下方）的一个动点，过点作轴的平行线与直线交于点，试判断在点运动过程中，以点，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （3）如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，当点在抛物线上，之间运动时，连接交于点，连接并延长交于点，猜想在点的运动过程中，的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 二.线段比例关系与相似三角形相结合 此类题目需从线段比例结合函数，设出关键点坐标，推理得出其他线段的长度，利用SAS的相似判定得到三角形相似。 例题：如图，、是平面直角坐标系中两点，其中为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使，画射线，把绕点逆时针旋转得△，连接，抛物线过、两点． （1）填空：　　，用表示点的坐标：　　； （2）当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点，且时，△与是否相似？说明理由； 解：（1），，，，即， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，即； 故答案为：45；，； （2）△，理由如下： 由已知得：，， ， ， 为抛物线的顶点， 设抛物线解析式为， 抛物线过点， ， 即， ， ， △； 题型一：知线段比例得相似 例1.如图1，，是平面