技能2 等面积法解题-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 技能２　等面积法解题 典例精析 例：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，Ｐ是 ＢＣ边上的动点，过点 Ｐ作 ＰＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ， ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，则ＰＤ＋ＰＥ的长是 （　　） Ａ．２４５　　　　　　　Ｂ． １６ ５　　　　　　　Ｃ． ２４ ５或 １６ ５　　　　　　　Ｄ．５ 【思路剖析】ＰＤ和ＰＥ是过点Ｐ的两条垂线，连接ＡＰ，将ＰＤ和ＰＥ看作△ＡＢＰ和△ＡＣＰ的 高，再结合Ｓ△ＡＢＰ＋Ｓ△ＡＣＰ＝Ｓ△ＡＢＣ即可求出ＰＤ＋ＰＥ的值． 【答案】Ａ 【自主解答】如解图，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，连接ＡＰ，∵在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，∴ＢＦ＝ ４，∴在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＡＦ＝ ＡＢ２－ＢＦ槡 ２＝３，∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＰ＋Ｓ△ＡＣＰ，∴ １ ２×８×３＝ １ ２×５×ＰＤ＋ １ ２×５× ＰＥ，∴１２＝１２×５×（ＰＤ＋ＰＥ），∴ＰＤ＋ＰＥ＝ ２４ ５ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 拓展归纳 等面积法解题的方法及常见图形 解题 方法 常见 图形 ９１ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 针对训练 １．（多解法）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，Ｐ是线段ＡＤ上的动点，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ 于点Ｆ，则ＰＥ＋ＰＦ的值为 （Ｄ ） Ａ．槡２　　　　　　　 Ｂ．４　　　　　　　 Ｃ．２　　　　　　　 Ｄ．槡 ２ ２ 第１题图 　　　　 第２题图 ２．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家 有一个菱形中国结装饰，如图，测得ＢＤ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝１６ｃｍ，直线ＥＦ⊥ＡＢ交两对边于点Ｅ， Ｆ，则ＥＦ的长为 （Ｃ ） Ａ．８ｃｍ Ｂ．１０ｃｍ Ｃ．４８５ｃｍ Ｄ． ９６ ５ｃｍ ３．【优质原创】（１）如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ边上的高ＢＤ＝１０，求ＡＢ边上高ＣＥ的长； （２）如图２，在（１）的条件下，若点Ｐ为ＢＣ边上任意一点，ＰＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＰＮ⊥ＡＣ于点Ｎ， 求ＰＭ＋ＰＮ的值； （３）如图３，将矩形ＡＢＣＤ沿ＥＦ折叠，使点Ｄ落在点Ｂ上，点Ｃ落在点Ｃ′处，点Ｐ为折痕ＥＦ 上的任意一点，过点Ｐ分别作ＰＧ⊥ＢＥ，ＰＨ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｇ，Ｈ，若ＡＤ＝８，ＣＦ＝３，求ＰＧ＋ ＰＨ的值． 图１ 　　 图２ 　　 图３ 第３题图 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＤ＝ＢＣ，∠Ｃ＝∠ＡＤＣ＝９０°． ∵ＡＤ＝８，ＣＦ＝３，∴ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ＝ＡＤ－ＣＦ＝５． 由折叠可得：ＤＦ＝ＢＦ，∠ＢＥＦ＝∠ＤＥＦ，∴ＤＦ＝５， ∵∠Ｃ＝９０°，∴ＤＣ＝ ＤＦ２－ＣＦ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４． ∵ＥＱ⊥ＢＣ，∠Ｃ＝∠ＡＤＣ＝９０°， ∴∠ＥＱＣ＝９０°＝∠Ｃ＝∠ＡＤＣ，∴四边形ＥＱＣＤ是矩形，∴ＥＱ＝ＤＣ＝４， ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＥＦ＝∠ＥＦＢ．∵∠ＢＥＦ＝∠ＤＥＦ，∴∠ＢＥＦ＝∠ＥＦＢ，∴ＢＥ＝ＢＦ， ∵Ｓ△ＥＢＰ＋Ｓ△ＢＦＰ＝Ｓ△ＥＢＦ，∴ １ ２ＢＥ·ＰＧ＋ １ ２ＢＦ·ＰＨ＝ １ ２ＢＦ·ＥＱ， ∴ＰＧ＋ＰＨ＝ＥＱ，∴ＰＧ＋ＰＨ＝４，∴ＰＧ＋ＰＨ的值为４． ０２ 43 【解桥：AB=子BC设BC=4(x>0),则AB=3,5.5【解折J由题知∠CD∠BCG0心CB ∠DCG,BC:CE=DC:CG=3:2,.△BCE∽△DCG.B. △ABC是直角三角形，∠ABC=90,.AC=√AB+BC E,F三点共线，∴.∠BEC=90°，BE=√BC-CE=25, =5x,∠ABC=∠ADE=90°，∠ACB=∠AED,.△ABCM △k光-e∠mE=∠ic8-0∠p- Sm=2E,CR=号x25×4=45.BCCD=2 ∠BAE=∠BAC-∠BAE,·∠DAB=∠EAC,∴△DAB 1△BCE与△DCG的相似比为2：1，Sac=}sam 5.(当E,F在BC下方时，同理可得S。6=√5) 模块二 技能方法篇 技能1平面直角坐标系中面积求法 3解：1)由题知，S=24B,CE=号C,8D, 典例精析 .AB=AC,BD =10...CE =10; 例(1)5：(2)6：(3)①（号，0）：258：4)-1或4 (2)如解图1，连接AP, 针对训练 由Saw+Sg=SAe,得2AB:PW+子AC·PN=AC 12023号 ·BD 2+5, =-2 .A