模型7 “手拉手”模型-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 模型７　“手拉手”模型 ［成都２０２２．２６（３）］ 类 型 １　“手拉手”全等 模型解读 情形 图示 结论 △ＡＢＣ和 △ＡＤＥ均为等腰 三角形，且∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ；ＢＤ＝ＣＥ； ＢＤ与 ＣＥ之间夹的较小的角 等于∠ＢＡＣ 四边 形 ＡＢＣＤ 和 四 边 形 ＡＥＦＧ均为正方形 △ＡＢＧ≌△ＡＤＥ； ＢＧ＝ＤＥ； ＢＧ⊥ＤＥ 典例精析 例１：如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ．若ＡＤ＝２，ＣＤ＝３， 则ＢＤ＝　　　　． 【思路剖析】有两边相等，旋转构造“手拉手”模型，将ＢＤ的长进行转化；有４５°角，再构造 一个４５°角，得到直角三角形解答．即将ＣＤ绕点Ｃ顺时针旋转９０°至ＣＥ，连接ＡＥ，ＤＥ，则 ＡＥ＝ＢＤ，且△ＣＤＥ是等腰直角三角形． 【答案】槡２２ 【自主解答】如解图，将 ＣＤ绕点 Ｃ顺时针旋转 ９０°至 ＣＥ，连接 ＡＥ，ＤＥ，则 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＡ＝ ∠ＢＣＤ，∵ＢＣ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥ＝３，∴△ＢＣＤ≌△ＡＣＥ，∴ＢＤ＝ＡＥ，由旋转可知△ＣＤＥ为等腰直角三角 形，∴∠ＣＤＥ＝４５°，ＤＥ＝槡２ＣＤ＝３槡２，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＝９０°，∴ＡＥ＝ ＡＤ ２＋ＤＥ槡 ２ ＝ ２２＋（３槡２）槡 ２ ＝槡２２，∴ＢＤ＝槡２２． 针对训练 １．【优质原创】如图，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等腰直角三角形，即 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ＝９０°，Ｂ，Ｃ，Ｄ三点在同一条直线上，连接ＣＥ．若ＡＢ＝槡２，ＡＤ＝２，则ＣＤ＝　槡３－１　． 第１题图 　　　 第２题图 　　　 第３题图 ２．（北师九上 Ｐ２５习题５题改编）如图，四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＣＥＦＧ都是正方形，连接 ＢＤ， ＢＧ，ＤＥ，若ＢＤ＝ＢＧ，ＢＤ∥ＣＧ，则∠ＢＤＥ＝　６０　°． ３．（２０２１广元改编）如图，边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，ＢＦ是ＡＣ边上的中线，点Ｄ是线段ＢＦ上 的动点，连接ＡＤ，在ＡＤ的右侧作等边三角形ＡＤＥ，连接ＢＥ，则ＡＥ＋ＢＥ的最小值是　　　　． ５１ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 类 型 ２　“手拉手”相似 模型解读 情形 图示 结论 在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＥ中， ＡＤ∶ＡＢ＝ＡＥ∶ＡＣ＝ｋ △ＡＢＤ∽△ＡＣＥ，且相似比 为ｋ 四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＥＦＣＧ均为矩形，且 ＢＣ∶ ＦＣ＝ＤＣ∶ＧＣ＝ｋ △ＢＦＣ∽△ＤＧＣ，且相似比 为ｋ 典例精析 例２：（２０２２岳阳改编）如图，在△ＡＢＣ和△ＥＤＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝９０°，∠ＢＡＣ＝∠ＤＥＣ＝ ３０°，连接ＢＤ，ＡＥ，若ＢＤ＝２，则ＡＥ＝　　　　，直线ＢＤ与直线ＡＥ的夹角为　　　　°． 【思路剖析】由题知△ＡＢＣ和△ＥＤＣ都是含３０°角的直角三角形，从而满足相似“手拉手” 条件，即得△ＢＣＤ∽△ＡＣＥ，列比例式求ＡＥ；延长 ＢＤ，ＡＥ相交于点 Ｆ，即为夹角，利用“８” 字相似即得∠Ｆ的值． 【答案】４，６０ 【自主解答】如解图，延长ＢＤ，ＡＥ相交于点Ｆ．∵∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝９０° ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，∴∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ＝６０°，ＢＣＡＣ＝ ＣＤ ＣＥ＝ １ ２，∴∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ， ∴△ＢＣＤ∽△ＡＣＥ，∴ＢＤＡＥ＝ １ ２，∴ＡＥ＝２ＢＤ＝４．∵△ＢＣＤ∽△ＡＣＥ，∴∠ＤＢＣ＝ ∠ＥＡＣ．∵∠ＤＢＣ＋∠ＡＣＢ＝∠ＥＡＣ＋∠Ｆ，∴∠Ｆ＝∠ＡＣＢ＝６０°． 针对训练 ４．（２０２２成都青羊区期中改编）如图，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是直角三角形，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ，ＡＢ＝３４ＢＣ，连接ＢＤ，ＣＥ，则 ＢＤ ＣＥ的值为　　　　． 第４题图 　　　　 第５题图 ５．【优质原创】如图，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＣＧＦＥ均为矩形，ＡＢ＝３，ＢＣ＝６，ＥＦ＝２，ＣＥ＝４，连 接ＢＥ，若Ｂ，Ｅ，Ｆ三点共线，则△ＤＣＧ的面积为　　　　． ６１ 一战成名·四川数学 培 优 册 ＤＣ＝２．∵∠ＧＤＥ＋∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＣ＋∠ＣＤＦ，∴∠ＧＤＥ＝ ∠ＣＤＦ，∴△ＧＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ），∴ＧＥ＝ＣＦ．∵Ｄ是 ＡＣ的 中点，ＤＧ∥ＢＣ，∴Ｇ是ＡＢ的中点，∴ＢＧ＝１２ＡＢ＝２，∵ＢＥ＝ １，∴ＧＥ＝１，∴ＣＦ＝１． 图１ 　　 图２ 第２题解图 方法２：如解图２，过点 Ｄ分别作 ＤＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，ＤＮ⊥ＢＣ 于点Ｎ，连接ＢＤ，∵Ｄ是 ＡＣ的中点，△ＡＢＣ是等边三角形， ∴ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，∴ＤＭ＝ＤＮ，∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴ ∠ＭＤＮ＝１２０°，∴∠ＭＤＥ＋∠ＮＤＥ＝∠ＮＤＥ＋∠ＮＤＦ＝ １２０°，∴∠ＭＤＥ＝∠ＮＤＦ，∵∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＦ＝９０°，∴ △ＤＭＥ≌△