3.9 反比例函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·基础夯实练

基础夯实练·辽宁数学 命题点９　反比例函数图象与性质的应用 要点归纳 例１　（北师九上Ｐ１６１复习题第６题）函数ｙ＝ａｘ－ａ与ｙ＝ａｘ（ａ≠０）在同一平面直角坐标系 中的图象可能是 （①　Ｄ　） Ａ 　　　　　 Ｂ 　　　　　 Ｃ 　　　　　 Ｄ 　【归纳总结】判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 （１）观察法： 函数类型 ｋ，ｋ′的符号相同（ｋｋ′＞０）ｋ，ｋ′的符号相反（ｋｋ′＜０） 结论 反比例函数 ｙ ＝ｋｘ与正比例 函数ｙ＝ｋ′ｘ ①ｋ，ｋ′同号，必有两交  点，且两交点关于原点 成中心对称； ②ｋ，ｋ′异号，无交点 反比例函数 ｙ ＝ｋｘ与一次函 数ｙ＝ｋ′ｘ＋ｂ ①ｋ，ｋ′同号，必有两  交点； ②ｋ，ｋ′异号，交点可以 有两个、一个、零个 （２）假设法：假设反比例函数的解析式与图象吻合，即可确定ｋ的取值范围，由此再根据ｋ的 取值范围确定一次函数图象，看是否与题图矛盾． 例２　（人教九下Ｐ９第８题改编）已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ与反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象的两个交 点为Ａ（１，６），Ｂ（－２，ｎ）． 　例２题图 （１）一次函数的表达式为②　ｙ＝３ｘ＋３　，反比例函数的 表达式为③　　　　； （２）如图，在平面直角坐标系中画出ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｙ＝ｍｘ的图 象，并通过观察图象直接写出： ①不等式ｋｘ＋ｂ＞ｍｘ的解集为④　ｘ＞１或－２＜ｘ＜０　； ②不等式ｋｘ＋ｂ≤ｍｘ的解集为⑤　０＜ｘ≤１或ｘ≤－２　； （３）连接ＡＯ，ＢＯ，则△ＡＯＢ的面积为⑥　　　． ９４ 基础夯实练·辽宁数学 【归纳总结】 １．已知两个交点坐标（其中一个交点横坐标或纵坐标用字母表示）求两个函数表达式 （１）先将已知横、纵坐标的交点的坐标代入反比例函数表达式，求出反比例函数表达式； （２）再将另一个交点已知的横或纵坐标代入反比例函数表达式，求出该交点坐标； （３）最后将两个交点的坐标代入一次函数表达式，求出一次函数表达式． 注：有时也会根据三角形面积求出交点坐标，再按照以上步骤完成． ２．比较两函数值大小，求自变量的取值范围 　图１ （１）找交点； （２）分区：过两函数图象的交点分别作ｙ轴的平行线，连同ｙ轴，将坐标 平面分为四部分，如图１，即Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ； （３）观察函数图象找答案：  根据图象在上方的函数值总比图象在下方的  函数值大，在各区域内找相应的ｘ的取值范围： ①Ⅰ，Ⅲ区域内：ｋｘ＞ａｘ＋ｂ，自变量的取值范围为 ｘ＜ｘＢ或０＜ｘ ＜ｘＡ； ②Ⅱ，Ⅳ区域内：ａｘ＋ｂ＞ｋｘ，自变量的取值范围为ｘＢ＜ｘ＜０或ｘ＞ｘＡ． ３．求图形面积 （１）如图２，求Ｓ△ＡＯＢ有两种思路： ①当以ＯＣ为公共底边时，如图３，将△ＡＯＢ分割为△ＢＯＣ，△ＡＯＣ； ②当以ＯＢ为公共底边时，如图４，过点Ａ作ＯＢ 的垂线求解． 图２  图３ 　　 图４ （２）多解法 獉獉獉 如图５，Ｓ△ＡＤＢ怎么求？ 解：解法一：以ＣＤ为公共底边，Ｓ△ＡＤＢ＝Ｓ△ＡＤＣ＋Ｓ△ＢＤＣ＝ １ ２ＣＤ·｜ｘＢ－ｘＡ｜； 解法二：如解图，过点Ａ作ＢＤ的垂线交ＢＤ延长线于点Ｅ，Ｓ△ＡＤＢ＝ １ ２ＢＤ·｜ｙＡ－ｙＢ｜． 图５ 　　　　　 图６ 　　　 图７ （３）如图６，求Ｓ△ＡＯＢ有两种思路： ①以ＯＣ或ＯＤ为公共底边，将△ＡＯＢ 的面积分割为两个三角形面积之和； ②如图７，过点 Ａ，Ｂ分别作 ｙ轴，ｘ轴的平行线交于点 Ｅ， 利用整体思想，可得 Ｓ△ＡＯＢ＝ Ｓ△ＡＢＥ－２× ｜ｋ｜ ２ －｜ｘＡ｜·｜ｙＢ｜＝Ｓ△ＡＢＥ－｜ｋ｜－｜ｘＡ｜·｜ｙＢ｜． ０５ 一战成名·辽宁数学 分 层 作 业 本 随堂练习　１． ；ｙ＝２ｘ＋１；＞；增大；＞；正； （－１２，０）；（０，１）；一、二、三；４；１；－２；－５；－８；ｙ＝ －３ｘ－２；＜；减小；＜；负；（－２３，０）；（０，－２）；二、三、四 ２．（１）ｍ≠－１　变式　１　（２）－３　变式　ｍ＞１ （３）－１＜ｍ≤１　（４）ｐ＜ｑ　变式１　ｍ＜－１　变式２　Ｄ 命题点４　 一次函数解析式的确定 及图象的变换 要点归纳　①加　②减　③加　④减　⑤相反数　⑥相反数 随堂练习　１．（１）３　（２）２　（３）４ （４）解：设一次函数的表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），由其图象 经过 Ａ（１，３），Ｂ（－１，２）两点，代入得 ｋ＋ｂ＝３， －ｋ＋ｂ＝２{ ，解得 ｋ＝１２， ｂ＝５２ { ，∴该一次函数的表达式为ｙ＝１２ｘ＋５２． 【拓展设问１】ｙ＝１２ｘ－１　 【拓展设问２】ｙ＝－２ｘ ２．（１）ｙ＝４ｘ－４　（２）左平移１个单位长度或者向上平移４个 单位长度　（３）ｙ＝４ｘ＋１　变式１　ｙ＝－４ｘ－１　 变式２　ｙ＝４ｘ－１　变式３　ｙ