幂函数、指数函数与对数函数专题-2024年高中数学竞赛讲义

第4讲 幂函数、指数函数与对数函数 知识方法扫描 一、指数函数及其性质 形如的函数叫作指数函数，其定义域为，值域为．当时，是减函数，当时，为增函数，它的图像恒过定点． 二、分数指数幂 三、对数函数及其性质 对数函数的定义域为，值域为，图像过定点．它是指数函数的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当时，为减函数，当时，为增函数． 四、对数的运算性质 （1）（这是定义）； （2）； （3）； （4）； （5）（换底公式）． 由以上性质（4）、（5）容易得到以下两条推论： 1）；2）． 典型例题剖析 例1 已知是方程的根，是方程的根，求的值． 例2已知，，，求的值． 例3已知函数，试解不等式． 例4设方程仅有一个实根，求的取值范围． 例5解不等式． 例6解不等式：． 例7 已知证明：． 例8设函数，实数，满足，，求、的值． 同步训练 一、选择题 1．已知、是方程的两个根，则（ ）． A． B． C． D． 2．已知函数为常数，），且，则的值是（ ）． A．8 B．4 C． D． 3．如果，则使的的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 4．若的值域为，则的取值范围是（）． A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．设，则满足的的取值范围是 ． 6．设，，，，则与的大小关系为 ． 7．设，则不等式的解集为 ． 8．设，则 ． 三、解答题 9．已知函数的反函数是，而且函数的图像与函数的图像关于点对称． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有意义，求的取值范围． 10．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围． 11．解方程组，（其中． 12．已知． （1）解方程； （2）求集合的子集个数． 13．已知，，试求使得方程有解的的取值范围． 14．已知，，求的首位数字． 15．已知，，试判断实数与的大小关系，并证明之． 16．解不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 例1 【解法1】由题意得，表明是函数与的交点的横坐标，是函数 与的交点的横坐标．因为与互为反函数，其图像关于对称，由得，，所以，所以． 【解法2】构造函数，由知，即，则，于是，又为上的增函数，故，． 【解法3】由题意得，两式相减有．若，则，得，矛盾；若，则，得，矛盾；而当时，满足题意． 【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧． 例2 【解法1】设，则，，． 由于故，解得：（负根舍去）． 【解法2】设，则，，． ，而，故，即， 故（负根舍去）． 【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理． 例3【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键． 【解】易证函数在其定义域内是单调减函数．并且，所以原不等式即为等价于或． 【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法． 例4【分析】本题要注意函数的定义域． 【解法1】当且仅当 时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得 ④ 或． 当时，由方程③，得所以，同为负根． 又由方程程④知所以原方程有一个解． 当时，原方程有一个解． 当时，由方程③，得 所以，同为正根，且，不合题意，舍去． 综上所述可得或为所求． 【解法2】由题意，方程，也即方程在满足关于的不等式的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论： （1）当时，在范围内有唯一实数根，则有； （2）当时，在范围内有唯一实数根，则有． 综上可得或为所求． 【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题． 例6【分析】若考虑到去根号，可设，原不等式变为，即，陷入困境． 原不等式即，设，则，同样陷入困境．下面用整体代换． 【解】设，则，代人原不等式，有 ，，， 由指数函数的单调性知，则．故原不等式的解集为． 例7 【证法1】注意到 ． 【证法2】设，，则，于是原不等式等价于， 即，即，也即 也即，由知，所以，得证． 因为，所以， 所以 即 【评注】若令，，则原不等式等价于：设，求证： ． 例8【分析】利用已知条件构建关于、的二元方程组进行求解． 【解】因为，所以 所以，或，又因为，所以+2，所以 又由于，于是，所以 ， 从而 ， 又，所以，故． 解得或（舍去）． 把代故，解得． 所以，． 1．【答案】． 【解析】原方程变形为，即．令，则，解得．所以或，方程的两根分别为和，所以．故选． 2．【答案】． 【解析】由已知可得 ， 又 ， 令，则有．从而有 ，