专题3-3 解三角形压轴综合小题（15题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题3-3解三角形压轴综合小题 目录 题型01 边角互化求角 1 题型02 判断三角型形状 2 题型03 三角形几解判断 3 题型04 正余弦应用：求面积 4 题型05 正余弦应用：求长度 5 题型06正余弦应用：比值型求值 6 题型07 最值型：角与对边互化面积型 6 题型08 最值型：周长、边长范围 7 题型09 最值型：比值范围 8 题型10 最值型：余弦定理齐次式 8 题型11 最值型：正切 9 题型12 三角形角平分线型 10 题型13 三角形中线型 11 题型14 三角形重心型 12 题型15 三角形外接圆 13 高考练场 14 题型01 边角互化求角 【解题攻略】 在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择． 边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，； （2）角化边：   ①利用正弦定理：，， ②利用余弦定理： 辅助角公式 【典例1-1】（2022下·黑龙江哈尔滨·高三校联考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（    ） A． B． C． D．或 【典例1-2】（2021下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（    ） A． B． C． D．或 【变式1-1】（2023上·河南焦作·高三石家庄市第九中学校考）在中，的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，，，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023上·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）在中，分别为角的对边，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 题型02 判断三角型形状 【解题攻略】 判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点 ①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形 ②sinA=cosB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形 ③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形 ④cos2A=cos2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形 ⑤⇒⇒△ABC为直角三角形 ⑥⇒ 或⇒ ⇒△ABC为钝角三角形 或⇒ ⑦⇒ 且⇒ ⇒△ABC为锐角三角形 且⇒ 【典例1-1】在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（    ） A．锐角三角形； B．直角三角形； C．钝角三角形； D．以上都有可能． 【典例1-2】在中，已知，则是（    ） A．直角三角形； B．锐角三角形； C．钝角三角形； D．等边三角形． 【变式1-1】在中，，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰三角形 【变式1-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1-3】在中，角的对边分别为，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 题型03 三角形几解判断 【解题攻略】 判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。 【典例1-1】在中，，则此三角形的解的情况是（    ） A．有两解 B．有一解 C．有无数个解 D．无解 【典例1-2】在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则此三角形解的情况是（    ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．有无数解 【变式1-1】在ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（　　） A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 【变式1-2】在中，已知，，，则此三角形的解的情况是（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式1-3】在中，已知，，，这个三角形解的情况是 A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定 题型04 正余弦应用：求面积 【解题攻略】 三角形面积 ： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径) 【典例1-