3.16 二次函数图象与几何图形综合题-【一战成名新中考】2024河南中考数学·分层作业本

分层作业本·河南数学 第 三 章 函 数 命题点１６　二次函数图象与几何图形综合题（近４年未考查） 　　　　　　　　　　　　　　　　◆线段问题 １．如图，二次函数 ｙ＝ｘ２－２ｘ－３的图象与 ｘ轴 交于Ａ，Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左边），与 ｙ轴 交于Ｃ点，直线 ｌ经过 Ｂ，Ｃ两点．Ｐ为直线 ｌ 上一点，过点Ｐ作ｘ轴的垂线与该二次函数的 图象相交于点 Ｍ，再过点 Ｍ作 ｙ轴的垂线与 该二次函数的图象相交于另一点Ｎ，当ＰＭ＝ ＭＮ时，求点Ｐ的横坐标． 第１题图 ２．如图，抛物线 ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３与 ｘ轴交于点 Ａ（－３，０），点Ｂ（１，０），与ｙ轴交于点Ｃ．点Ｑ 在抛物线对称轴上，当△ＢＣＱ的周长最小时， 求点Ｑ的坐标． 第２题图 ◆面积问题 ３．如图，抛物线ｙ＝－２ｘ２＋２ｘ＋４与ｘ轴交于点 Ｂ（２，０）和点Ｃ（－１，０），与ｙ轴交于点Ａ，Ｄ为 第一象限的抛物线上一点，求△ＡＤＢ面积的 最大值． 第３题图 解：如解图，过点Ｄ作ＤＭ⊥ｘ轴于Ｍ，交ＡＢ于点Ｎ， ∵抛物线与ｙ轴交于点Ａ，∴Ａ（０，４）． 设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 将Ａ（０，４），Ｂ（２，０）代入，得 ２ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝４{ ， 解得 ｋ＝－２， ｂ＝４{ ， ∴直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－２ｘ＋４， 设点Ｄ（ｍ，－２ｍ２＋２ｍ＋４），则点Ｎ（ｍ，－２ｍ＋４）， ∴ＤＮ＝－２ｍ２＋４ｍ， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝ １ ２ＤＮ·ＯＢ＝ １ ２×（－２ｍ ２＋４ｍ）×２＝ －２（ｍ－１）２＋２， ∴当ｍ＝１时，△ＡＤＢ的面积最大，最大值为２                                                                    ． ４５ 分层作业本·河南数学 第 三 章 函 数 ◆特殊三角形问题 ４．如图，抛物线 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３交 ｘ轴于点 Ａ（－１，０）和点 Ｂ（３，０），交 ｙ轴于点 Ｃ，点 Ｄ 与点Ｃ关于抛物线的对称轴对称，连接ＡＤ．Ｐ 是该抛物线对称轴上一点，是否存在点 Ｐ，使 得△ＡＰＤ为直角三角形？若存在，求出点 Ｐ 的坐标；若不存在，请说明理由． 第４题图 解：存在．理由如下： 由题意可知，Ｃ（０，３），抛物线对 称轴为直线ｘ＝１，∴Ｄ（２，３）， 设点Ｐ的坐标为（１，ｎ）， 则 ＡＤ２＝（－１－２）２＋（０－３）２ ＝１８，ＡＰ２ ＝ （－１－１）２ ＋ （０－ｎ）２＝ｎ２＋４， ◆特殊四边形问题 ５．（２０２３自贡节选）抛物线 ｙ＝－４３ｘ ２－８３ｘ＋４ 与ｘ轴交于 Ａ（－３，０），Ｂ（１，０）两点，与 ｙ轴 交于点 Ｃ．是否存在以 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点的四 边形是平行四边形，若存在，求出点Ｄ的坐标； 若不存在，请说明理由． ◆角度问题 ６．已知抛物线 ｙ＝３４ｘ ２＋９４ｘ－３与 ｘ轴交于点 Ａ（１，０）和点Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ（０，－３）．点Ｐ 是抛物线上一动点（不与点 Ａ，Ｂ，Ｃ重合），作 ＰＤ⊥ｘ轴，垂足为 Ｄ，连接 ＰＣ．如图，若点 Ｐ 在第三象限，且∠ＣＰＤ＝４５°，求点Ｐ的坐标． 第６题图 解：由题意可知 ＯＣ＝３，如解图，设 ＰＣ延长线交 ｘ 轴于Ｅ， ∵ＰＤ⊥ｘ轴，∴ＰＤ∥ＯＣ，∴∠ＯＣＥ＝∠ＣＰＤ＝４５°， ∵∠ＣＯＥ＝９０°，∴∠ＣＥＯ＝９０°－∠ＥＣＯ＝４５°， ∴∠ＣＥＯ＝∠ＯＣＥ，∴ＯＥ＝ＯＣ＝３， ∴点Ｅ（３，０），∴直线ＰＣ的解析式为ｙ＝ｘ－３， 令 ３ ４ｘ ２＋９４ｘ－３＝ｘ－３， 解得ｘ１＝－ ５ ３，ｘ２＝０（舍去）， 当ｘ＝－５３时，ｙ＝－ ５ ３－３＝－ １４ ３，∴Ｐ（－ ５ ３，－ １４ ３）                                                                       ． 【“特殊三角形存在性问题”讲解见培优册Ｐ１１】 ５５ (2400-m)株， :学校计划购买费用不超过5万元， 解得n3+,或n=3-,回 2 2 25m+15(2400-m)≤50000，解得m≤1400 ∴最多可以购买1400株牡丹. 点P的坐标为1,34)或1,3)： 命题点16二次函数图象与几何图形综合题 当∠DAP=90时，AP+AD=PD, 1点P的横坐标为2或-1或，安， .n2+4+18=n2-6m+10,解得n=-2. ! 点P的坐标为(1，-2)： 2.点Q的坐标为(-1，-2). 当∠ADP=90时，AD+PD=AP, 3.