第7章《三角函数》教材解读【正切函数的图像与性质】讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 正切函数的图像与性质 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 第6章学习了三角，无论是在锐角三角形中，还是在平面直角坐标系中，我们都是从几何的角度，把正弦、余弦和正切看成一个比值；本章我们将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质 【本章内容提要】 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 （） （） （） 单调减区间 （） （） 无 图像 【要点方法解读】 1、正切函数的图像 利用正切线作出y＝tanx的图像如图： 2、正切函数的性质 函数 y＝tanx 定义域 值域 R 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个开区间(k∈Z)上是严格递增的 解读点029 正切函数的定义域问题 【典例】 求下列函数的定义域． 1、求函数y＝的定义域． 2、求函数y＝的定义域． 【说明】求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图像求解. 解读点030 正切函数的值域与最值问题 【典例】 1、求函数y＝tan，x∈∪的值域． 2、函数y＝tan2x－2tan x的值域为____________________________________ 【说明】处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解； 解读点031 与正切函数相关的单调性 【典例】 1、求函数y＝tan的单调区间. 2、求函数y＝3tan的单调区间. 【说明】y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 解读点032 与正切函数相关的图像 思考：1、如何由y＝tan x的图像画出y＝|tan x|的图像． 【提示】只需保持y＝tan x的图像在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tan x|的图像． 2、如何由y＝tan x的图像画出y＝tan|x|的图像． 【提示】把y＝tan x(x≥0)的图像关于y轴对称便可得出y＝tan|x|的图像． 【典例】 1、根据函数y＝|tan x|的图像，判断其单调区间、奇偶性、周期性． 2、根据函数y＝tan |x|的图像，判断其单调区间、奇偶性、周期性． 将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan |x|，解答同样的问题． 【说明】作由正切函数复合而成的简单函数图像可用两种方法： 1、直接描点法，要注意定义域； 2、图像变换法，即以y＝tan x的图像为基础，采用反转对称平移等变换，作出函数的图像. 解读点033 与正切函数图像相关的性质及其应用 【典例】 1、设函数f(x)＝tan. （1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图. 【说明】熟练掌握正切函数的图像和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z. 解读点035 正切函数的周期性、奇偶性、对称性 【典例】 1、函数y＝3tan 2x的对称中心为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(kπ，0)(k∈Z) 2、关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图像关于直线x＝(k∈Z)对称 D．f(x)在每一个区间(k∈Z)上单调递增 【说明】与正切函数有关