第7章《三角函数》教材解读【函数y=Asin(ωx+φ)的图像】讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 第6章学习了三角，无论是在锐角三角形中，还是在平面直角坐标系中，我们都是从几何的角度，把正弦、余弦和正切看成一个比值；本章我们将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质 【本章内容提要】 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 （） （） （） 单调减区间 （） （） 无 图像 【要点方法解读】 解读点021 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相． 【典例】 1、已知函数y＝2sin，用“五点法”画出其简图． 2、作出函数y＝sinx－在长度为一个周期的闭区间上的图像． 【说明】1、“五点法”作图的实质：利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图像； 2、用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的步骤： 第一步：列表. ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图像． 解读点022 三角函数图像的平移 φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响 函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到； 【典例】 1、由y＝sin x的图像能得到y＝sin(x＋)的图像吗？ 2、把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数是(　　) A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．奇函数 D．偶函数 解读点023 函数图像的横坐标伸缩变换 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响 函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． 【典例】 1、将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 2、将函数y＝sin x的图像的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图像向右平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为________． 【说明】三角函数的平移变换问题的分类及策略： 1、已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位； 2、确定函数y＝sin x的图像经过变换后图像对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值； 解读点024 函数图像的纵坐标伸缩变换 A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时