第7章《三角函数》教材解读【余弦函数的图像与性质】讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 余弦函数的图像与性质 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 第6章学习了三角，无论是在锐角三角形中，还是在平面直角坐标系中，我们都是从几何的角度，把正弦、余弦和正切看成一个比值；本章我们将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质 【本章内容提要】 正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【要点方法解读】 解读点009 余弦曲线及其画法 1、余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图像叫余弦曲线； 2、余弦函数图像的画法 （1）要得到y＝cos x的图像，只需把y＝sin x的图像向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin； （2）用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图像时， 所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接； 【典例】 1、用“五点法”作出函数y＝1－cosx，x∈[0,2π]的简图； 2、用“五点法”作出函数y＝1－cosx，x∈[－2π，2π]的图像： 【说明】用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)(或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤： （1）列表： x 0 π 2π sinx(或cosx) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1(或0) 0(或1) y y1 y2 y3 y4 y5 （2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)． （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来； 解读点010 利用“图像变换”作余弦函数的图像 思考1：如何由正弦曲线得到余弦曲线？ 思考2：余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？能否通过平移余弦曲线得到正弦曲线？ 【典例】 1、利用图像变换法作出函数y＝1－cosx，x∈[0,2π]的图像： 2、作出下列函数y＝在[－2π，2π]上的图像： 【说明】某些函数的图像可通过图像变换，如平移变换、对称变换作出，如将y＝f(x)的图像在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝f|x|的图像，将y＝f(x)图像在x轴上方的不动，x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝|f(x)|的图像等. 解读点011 与余弦相关函数定义域求法 【典例】 1、函数y＝的定义域为(　　) A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．R 2、求函数y＝lg(－cosx)定义域 解读点012 用余弦函数图像解三角不等式 余弦函数图像的简单应用 【典例】 1、已知y＝cos x(x∈R)，求： （1）y≥时x的集合； （2）－≤y≤时x的集合． 【说明】利用余弦曲线求解cos α≥a或cos α≤a|a|<1的步骤： 1、作出余弦函数在一个周期内的图像选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定； 2、作直线y＝a与函数图像相交； 3、在一个周期内确定x的取值范围；4根据余弦函数周期性确定最终的范围. 推广：用正弦曲线余弦曲线解三角不等式如sinx≥a或cosx≥a的步骤 1、作图像：作基本函数y＝sinx或y＝cosx的图像. 2、作直线：作直线y＝a. 3、取值：求满足sinx＝a或cosx＝a的角x的值一般一个周期内有两个值，尽量靠近原点. 4、取解集：先取图中阴影部分的一个周期的特殊解集，然后在两边同