第7章《三角函数》教材解读【正弦函数的图像与性质】讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 正弦函数的图像与性质 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 第6章学习了三角，无论是在锐角三角形中，还是在平面直角坐标系中，我们都是从几何的角度，把正弦、余弦和正切看成一个比值；本章我们将从函数的角度看待正弦、余弦和正切，研究这些三角函数的图像与性质；与幂函数、指数函数及对数函数不同，三角函数具有周期性；在现实生活中存在大量的周期现像，如四季的交替，钟表指针的转动，弹簧的振动，等等；三角函数是刻画周期现像最典型的数学模型．由正弦函数和余弦函数在周期现像研究中重要而本质的作用，使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具，在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用； 【本章教材目录】 第7章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质 7.2 余弦函数的图像与性质 7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 7.4 正切函数的图像与性质 7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质 【本章内容提要】 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 （） （） （） 单调减区间 （） （） 无 图像 【要点方法解读】 解读点001 正弦曲线及其画法 1、正弦曲线 正弦函数y＝sinx，x∈R的图像叫正弦曲线； 2、正弦函数图像的画法 (1)几何法： ①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图像； ②将图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的 五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度) 【典例】 1、用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]上的图像． 【解析】 2、画出函数y＝sin x－1在[0,2π]上的简图． 【说明】用五点法画函数y＝Asinx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下 （1）列表： x 0 π 2π sin x y （2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的． （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来，不要用线段进行连结． 解读点002 利用“图像变换”作正弦函数的图像 正弦函数也是函数，注意结合“函数图像变换”画出相关函数的图像 【典例】 1、　画出函数y＝的图像 2、　画出函数y＝sin|x|的图像； 【说明】正弦函数与三角函数的图像可通过图像变换，如平移变换、对称变换作出，如将y＝sinx的图像在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin|x|的图像，将y＝sinx图像在x轴上方的不动，x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝|sinx|的图像等.； 解读点003 正弦函数的周期性及其求法 1、函数的周期定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2、最小正周期 ①定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；②正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π； 3、函数y＝sinx的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π； 4、函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； 【典例】 1、求函数y＝sin(x∈R)的最小正周期： 2、求函数y＝|sinx|(x∈R)．的最小正周期： 【说明】三角函数周期的主要求法；方法1：定义法，利用f（x＋T）＝f（x）；,方法2：公式法，对于y＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0），方法3：图像法，作出函数图像，通过观察图像得到周期； 解读点004 利用正弦函数的图像解三角不等式 【典例】 1、利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合； 2、求函数)y＝；的定义域： 【说明】利用正弦曲线三角不等式的一般步骤： 1、画出正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图像； 2、写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集； 3、把此解集推广到整个定义域上去； 解读点005 正弦函数的