第17章 专题：勾股定理中的3种数学思想【大概念整合】（教学正文）（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2024春季学期 《学练优》· 八年级数学下 · RJ 第十七章　勾股定理 专题：勾股定理中的3种数学思想 【大概念整合】 ◆类型一　方程思想 一、几何图形中的方程思想 运用方程思想解决几何问题的几种常见情形： （1）有公共边（或构造公共边）的两个直角三角形； （2）图形折叠中利用对应线段相等，建立方程； （3）由垂直平分线得到相等线段，建立方程. 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18， DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为（　C　） A.8 B.10 C.13 D.15 第1题图 C 2.（2023·安庆潜山县期中）如图，将一个长和宽分别为 16，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则 AF的长是⁠ ⁠. 第2题图 10　 3.【共边图形】如图，AD为△ABC的高，已知AB＝13， BC＝21，AC＝20，求△ABC的面积. 解：设BD＝x，则CD＝21－x.⁠ 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝132－x2.⁠ 在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝202－（21－x）2.⁠ ∴132－x2＝202－（21－x）2，解得x＝5.⁠ ∴AD＝＝12.⁠ ∴S△ABC＝BC·AD＝×21×12＝126.⁠ 解：设BD＝x，则CD＝21－x. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝132－x2. 在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝202－（21－x）2. ∴132－x2＝202－（21－x）2，解得x＝5. ∴AD＝＝12. ∴S△ABC＝BC·AD＝×21×12＝126. 4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝ 6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线 A→C→B→A运动，设运动时间为ts（t＞0）. ⁠ （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t 的值； 解：（1）如图，连接PB， ∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC＝＝8cm. ∵CP2＋BC2＝PB2，PB＝PA＝2tcm， ∴（8－2t）2＋62＝（2t）2. ∴t＝. （2）当t为多少时，AP平分∠BAC？ 解：（1）如图，连接PB，∵∠ACB＝90°，AB＝ 10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8cm.⁠ ∵CP2＋BC2＝PB2，PB＝PA＝2tcm，⁠ ∴（8－2t）2＋62＝（2t）2.∴t＝.⁠ （2）如图，当AP平分∠BAC时，过点P作PE⊥AB于 点E，⁠ 点E， 此时BP＝（14－2t）cm，PE＝PC＝（2t－8）cm. 易证Rt△APE≌Rt△APC， ∴AE＝AC＝8cm. ∴BE＝10－8＝2（cm）. （2）如图，当AP平分∠BAC时，过点P作PE⊥AB于 此时BP＝（14－2t）cm，PE＝PC＝（2t－8）cm.⁠ 易证Rt△APE≌Rt△APC，⁠ ∴AE＝AC＝8cm.∴BE＝10－8＝2（cm）.⁠ 在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2，⁠ 即（2t－8）2＋22＝（14－2t）2，解得t＝.⁠ ∴当t＝时，AP平分∠BAC.⁠ 在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2， 即（2t－8）2＋22＝（14－2t）2，解得t＝. ∴当t＝时，AP平分∠BAC. 二、实际应用中的方程思想 5.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一 首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未 起，踏板一尺离地.送行二步恰竿齐，五尺板高离 地……”翻译成现代文为： 如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OB）的长度. 解：设OA＝OB＝x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC－AC＝5－1＝4（尺）. ∴OE＝OA－EA＝（x－4）尺. 在Rt△OEB中，OE＝（x－4）尺，OB＝x尺，EB＝10 尺，根据勾股定理得x2＝（x－4）2＋102，解得x＝14.5. 则秋千绳索的长度为14.5尺. 6.拉杆箱是人们出行的常用品，使用拉杆箱可以让人们 出行更轻松.如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm， 拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚 轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的点A处， 点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时， 滚轮圆心水平向右平移55cm到点A'处，求拉杆把手点C 离地面DN的距离（假设点C的位置保持不变）. 解：如图，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA'交CE于点 F，则∠AFC＝90°.设A'F＝xcm，则AF＝（55＋x）cm.⁠ AC＝65＋35＝100（cm），A'C＝65cm.⁠ 在Rt△A'CF中，