3.13 二次函数解析式的确定及图象的变换-【一战成名新中考】2024广西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·广西数学 命题点１３　二次函数解析式的确定及图象的变换 要点归纳 １．二次函数表达式的确定 （１）基本方法：待定系数法； （２）求二次函数表达式时，先观察题设中给出的条件，根据已知条件设出合适的二次函数表 达式． 已知条件 任意三点坐标 与ｘ轴的两个交点＋任意一点坐标 顶点＋任意一点 对称轴＋最值＋任意一点 常设解析式 一般式：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 交点式：ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２） 顶点式：ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ ２．二次函数图象的平移 （１）平移特点 ①开口大小与开口方向均①　不变　，即二次项系数②　不变　 ②函数图象上每一个点的平移规律都相同． （２）平移规律 一般式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 顶点式ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ 向左平移ｍ 个单位长度 ｙ＝ａ［ｘ－（－ｍ）］２＋ｂ［ｘ③　　　　］＋ｃ ＝ａ（ｘ＋④　ｍ　）２＋ｂ（ｘ＋⑤　ｍ　）＋ｃ ｙ＝ａ［ｘ－（－ｍ）－ｈ］２＋ｋ ＝ａ（ｘ⑥　＋ｍ　－ｈ）２＋ｋ 向右平移ｍ 个单位长度 ｙ＝ａ（ｘ⑦　－ｍ　）２＋ｂ（ｘ⑧　－ｍ　）＋ｃ ｙ＝ａ（ｘ⑨　－ｍ　－ｈ）２＋ｋ 向上平移ｎ 个单位长度 ｙ－ｎ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 即ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋ｎ ｙ－ｎ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ， 即ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ＋ｎ 向下平移ｎ 个单位长度 ｙ＋ｎ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 即ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ－ｎ ｙ＋ｎ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ， 即ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ－ｎ 规律总结 左右平移：ｘ左加右减； 上下平移：等式右边整体上加下减 ６５ 基础夯实练·广西数学 ３．二次函数图象的对称 变换特点：开口大小恒不变． 对称方式 关于ｘ轴对称 关于ｙ轴对称 关于原点成中心对称 变换前后 图象特点 开口方向⑩　相反　 开口方向瑏瑡　不变　 开口方向瑏瑢 相反　 ｘ，ｙ的变化 ｘ不变，ｙ变为相反数 ｙ不变，ｘ变为相反数 ｘ，ｙ变为相反数 一般式ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 顶点式ｙ＝ ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ 变换 后的 表达 式 ｙ＝－ａｘ２－ｂｘ－ｃ ｙ＝ａｘ２－ｂｘ＋ｃ ｙ＝－ａｘ２＋ｂｘ－ｃ ｙ＝－ａ（ｘ－ｈ）２－ｋ ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ ｙ＝－ａ（ｘ＋ｈ）２－ｋ 随堂练习 类型１　已知任意两点 １．已知抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点Ａ（３，０），Ｂ（－２，－５），求抛物线的表达式． 解：由题意，得 －９＋３ｂ＋ｃ＝０， －４－２ｂ＋ｃ＝－５{ ，解得 ｂ＝２， ｃ＝３{ ， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３． ２．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点Ａ（０，２），Ｂ（２，０），Ｃ（１，２），求抛物线的表达式． 解：∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点Ａ（０，２），∴ｃ＝２， 由题意，得 ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０， ａ＋ｂ＋ｃ＝２{ ， 解得 ａ＝－１， ｂ＝１{ ， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２． 类型２　已知顶点 ３．已知抛物线的顶点为（２，４），且过点（１，２），求抛物线的表达式． 解：设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋４， 将（１，２）代入，得２＝ａ（１－２）２＋４， 解得ａ＝－２， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－２（ｘ－２）２＋４． ４．（一题多解法）已知Ａ（－１，４）为抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点，求抛物线的表达式． 解：解法一：由题意，得 ｂ ２＝－１， －１－ｂ＋ｃ＝４{ ，解得 ｂ＝－２，ｃ＝３{ ， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３． 解法二：由题意得，抛物线表达式的二次项系数为－１， ∴抛物线表达式可写为ｙ＝－（ｘ＋１）２＋４＝－ｘ２－２ｘ＋３． ７５ 基础夯实练·广西数学 类型３　已知与ｘ轴交点 ５．已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点（－３，０），（１，０），（０，３），求该二次函数的表 达式． 解：∵二次函数的图象经过点（－３，０），（１，０）， ∴设二次函数的表达式为ｙ＝ａ（ｘ＋３）（ｘ－１）， 把（０，３）代入，得ａ·３×（－１）＝３， 解得ａ＝－１， ∴该二次函数的表达式为ｙ＝－（ｘ＋３）（ｘ－１），即ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３． 类型４　已知对称轴 ６．（一题多解法）已知抛物线ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为直线ｘ＝２，且经过点（１，０），求抛物线 的表达式． 解：解法一：∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝２， ∴－ｂ４＝２，解得ｂ＝－８， 又∵抛物线经过点（１，０）， ∴２－８＋ｃ＝０，解得ｃ＝６， ∴抛物线的表达式为ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋６． 解法二：∵抛物线ｙ＝２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为直线ｘ＝２，且与ｘ轴交于点（１，０）， ∴抛物线与ｘ轴的另一个交点为（３，０）， ∴抛物线的表达式为ｙ＝２（ｘ－１）（ｘ－３）＝２ｘ２－８ｘ＋６． 类型５　求图象变换后的抛物线解析式 ７．将抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ＋２向下平移２个单位长度，再向左平移１个单位长度，求平移