考点20 二项式定理-2024年新高考数学艺体生一轮复习

考点20 二项式定理 一．二项式定理 （1）二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) （2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C （4）项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n 3． 指定项的系数或二项式系数 1.解题思路：通项公式 2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项 (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项 (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项 (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项 三．二项式系数的性质 四．系数和---赋值法 1．赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大． 五．常见解题思路 1.求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 ①利用二项式定理写出二项展开式的通项公式，常把字母和系数分离(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r； ③把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量． 2.求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式； ②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 3.求三项展开式特定项的方法 ①通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． ②将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 4.二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得． 5.整除问题：用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了． 6.近似运算：利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度． 考点一 二项式指定项的系数 【例1-1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 【例1-2】（2024·贵州·校联考模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．8 B．28 C．56 D．70 【例1-3】（2023·山东青岛）若的展开式中共有个有理项，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】 1．（2024·四川绵阳·统考二模）的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C．5 D．10 2．（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 3．（2024上·全国·高三专题练习）展开式中含项的系数为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高三专题练习）写出展开式中的一个有理项为 . 考点二 二项式系数与系数的性质 【例2-1】（2023辽宁省大连市）的展开式中，二项式系数最大的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【例2-2】（2023·四川雅安·统考一模）的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【例2-3】2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为 【变式】 1．（2023·甘肃）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海嘉定·统考一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 3．（2