2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，已知抛物线图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与端点A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． ①求证：四边形DECF是矩形； ②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，试说明变化情况． 2．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为． （1）求a的值； （2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标； （3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF． 3．如图，过原点的抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线的对称轴为直线，点为顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)如图（1），点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，线段交直线于点，若的面积为，的面积为，求的最大值 (3)如图（2），设直线与抛物线交于，两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长是定值． 4．已知以为自变量的二次函数， （1）求证：不论取何值，该图象必经过一个定点，并求出这个定点； （2）直线与该函数图象相交于两点，当时，求的值； （3）该函数图象的顶点在怎样的曲线上，求此曲线的解析式并写出自变量取值范围． 5．如图，已知抛物线是常数的顶点为，直线：．    (1)求证：点在直线上； (2)若，直线与抛物线的另一个交点为，与轴交点为，恰好是线段的中点，求的值； (3)如图，当时，抛物线交轴于A、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点    （1）求A点和点B的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标． 7．如图，点A在抛物线上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO，BO分别与抛物线相交于点C，D，连接AD，BC，设点A的横坐标为m，且m>0． (1).当m=1时，求点A，B，D的坐标； (2).当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直； (3).猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论． 8．如图，二次函数的图像过点，与轴交于点. （1）证明：（其中是原点）； （2）在抛物线的对称轴上求一点，使的值最小； （3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点 . 请问 是否存在这样的点，使. 若存在， 请求出点的坐标；若不存在，说明理由. 9．已知：正方形中，对角线与交于O点，点E为线段上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，连接交于点H， ．        (1)求证：； (2)求的最大值； (3)猜想之间的数量关系，并直接写出结论． 10．已知抛物线的顶点．      (1)该抛物线的解析式为______； (2)如图1，直线交轴于，交抛物线于、，轴于轴于，试比较与的大小关系． (3)如图2，，，点是抛物线上一点，轴于， ①求证：； ②是否存在点，使得取得最小值，若存在，直接写出的坐标和最小值，若不存在，说明理由． 11．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，4)，在x轴上有一动点D9(m，0)（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E， （1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式． （2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）． （3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值． 13．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0,2）。 （1）若点（-，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式； （2）若点A为抛物线顶点，且抛物线过点（1,1）。 ①求抛物线的解析式； ②若点M是抛物线上异于点A的一个动点，点P与点O关于点A对称，直线MP交抛物线与另一个点N，点N’是抛物线上点N关于对称轴的对称