专题13 轴对称之将军饮马模型全攻略-【B卷常考模型】2023-2024学年四川成都七年级数学下学期题型全攻略（北师大版）

专题13 轴对称之将军饮马模型全攻略 【模型说明】 模型一、两定一动模型 模型二、一定两动 【例题精讲】 例1．（两定一动求最值）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为 ． 例2．（两定一动求角度）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 例3．（一定两动求距离）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 例4．（一定两动求角度）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °． 例5．（培优综合）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【课后训练】 1．如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝ ． 2．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 3．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 .    4．如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为 ． 5．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度． 6．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点， （1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系； （2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 轴对称之将军饮马模型全攻略 【模型说明】 模型一、两定一动模型 模型二、一定两动 【例题精讲】 例1．（两定一动求最值）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论． 【详解】解：连接BE，与AD交于点M． ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM， 则BE就是EM+CM的最小值． ∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线 ∴BE=AD=6， ∴EM+CM的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置． 例2．（两定一动求角度）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分，从而可求出． 【详解】如图连接BP． 　 ∵为等边三角形， ∴AD为BC的垂直平分线， ∴BP=CP， ∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE， ∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小， ∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图． 又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形， ∴P点即为等边角平分线的交点， ∴CP平分， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键． 例3．（一定两动求距离）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为