江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷 考试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册；时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分。在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点P，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 5．7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（    ）种站排方式． A．672 B．864 C．936 D．1056 6．若，则（    ） A．40 B． C．80 D． 7．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示： 30 40 50 60 70 一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（    ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，直线，则下列结论正确的有（    ） A．直线和可能相切 B．直线过定点 C．直线被截得的弦最长时，直线的方程为 D．直线被截得的弦长最小值为 10．如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，， ，则（    ） A． B． C． D． 11．6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（    ） A．甲分得4本，则不同的分法有30种 B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种 C．每人2本，则不同的分法有540种 D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线（，）的右焦点与抛物线（）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于M，N两点，交双曲线的渐近线于P，Q两点.若，则双曲线的离心率为 . 13．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为 . 14．已知随机变量X服从正态分布，若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线：，圆C：. (1)若直线截圆C所得的弦长为，求m的值； (2)已知点，O为坐标原点，若圆C上存在点P，使，求m的取值范围. 16．（15分）已知双曲线，是双曲线上一点． (1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； (2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； 17．（15分）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，． (1)求抛物线C的标准方程； (2)已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标． 18．（17分）如图①，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，、分别是、的中点．设，，， (1)用，，表示； (2)若，且，，，以为原点，、、方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系如图②，过点做平面，使平面的一个法向量为，求点到平面的距离． 19．（17分）在2019中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表:（单位:个） 纪念品 纪念品 纪念品 精品型 100 150 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中种纪念品有40个. (1)求的值; (2)用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为5的样木，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率; (3)从种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值