2024年四川省成都市中考数学二轮复习专题 圆中的射影定理及角平分线定理专项训练

圆中的射影定理及角平分线定理（学生版） 目标层级图 课中讲解 一． 射影定理 内容讲解 ① ② ③ 例1. 已知：为的直径，是上一点，如图，，．与相切于点，过点作的平行线交于点． *（1）求的长； （2）延长到，使，连接并延长交于点，求的长； （3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，求证：． 例2. 如图所示，已知四边形内接于，是弧的中点，于，与及的延长线分别交于点、，且，切于． （1）求证：； *（2）求证：； （3）如果，，求的值． 过关检测 1. 如图，为的切线，为切点，直线交与点，过点作的垂线垂足为，交与点，延长与交与点，连接，． （1）求证：与相切； *（2）试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； （3）若，，求的值． 2.如图，在中，，以斜边为直径作，以直角边为底边向右侧作等腰，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求证：与相切； *（3）在（2）条件下，连接交于于点，连接，若，求的长． 二．斜射影定理 内容讲解 结论：若 则有 条件： CE为☉O的切线 证明： 结论： 逆用： 若，则可证明为☉O的切线 若要证明， 只需证明， 再利用求解即可 例1. 如图，已知是的直径，为上（异于、一点，的切线与的延长线交于点；为上一点，的延长线交于点，为上一点且，的延长线交于点． （1）求证：； *（2）若、的长是一元二次方程的两根，求的长； （3）若，，求的长． 例2. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连结． （1）求证：是的切线． *（2）求证：． （3）若，，求直径的长． 过关检测 1. 如图，是的直径，是的一条弦，，的延长线交于点、交的延长线于点，连接且恰好，连接交于点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； *（2）求证：； （3）当时，求的值． 2. 已知，是的直径，点在上，点是延长线上一点，连接． （1）如图1，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的长； *（2）如图2，若点是弧的中点，交于点，，求的值． 3. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； *（2）求证：； （3）若的半径为5，，求的长． 4. 如图1，是的直径，点在上，点在的延长线上，，垂足为点，与相交于点，与相交于点．过点作，与相交于点． （1）求证：为的切线； （2）当，且时，求：的值； *（3）如图2，在（2）的条件下，延长，相交于点，若，求线段的长． 5. 如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）探究线段，，之间有何数量关系？写出你的结论，并证明； *（3）若，，求的半径长． 6．如图，在中，，以为直径的圆交于点，交于点，以点为顶点作，使得，交延长线于点连接、，延长交于点， （1）求证：为的切线； （2）求证：； *（3）若，，求的半径． 三．角平分线定理 内容讲解 1.角平分线第二定理 证明： 若 则或 2.常用角平分线比值（12345结论的延申） 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交⊙O于G，连接GE． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若求⊙O的半径； *（3）在（2）的条件下，求AP的长． 例2.如图，在中, ，以CB为半径作C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE. (1)求证：△ABD∽△AEB； (2)当时，求； *(3)在(2)的条件下，作的平分线，与BE交于点F，若求C的半径。 例3.如图，在△ABC中，以直角边BC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，的角平分线交CD于点E，交BC于点F，交⊙O于点P． （1）求证： *（2）若求的值； （3）连接PC、PB，若求△PCF的面积． 例4. 如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：AQ•PQ＝BQ•OQ； *（3）设若求AB的长． 例5.如图，已知为的角平分线，，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接并延长交于点． （1）求证：是的切线； *（2）当时，求的值； （3）在（2）的条件下，若的半径为4，求的值． 过关