第17讲 矩形、菱形与正方形-备考2024年中考数学一轮复习高频考点精讲与热点题型精练（浙江专用）

第17讲　矩形、菱形与正方形 考纲要求 命题趋势 1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系． 2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质． 3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明． 　　特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、解答题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中． 一、矩形的性质与判定 1．定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质 （1）矩形的四个角都是直角． （2）矩形的对角线相等． （3）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是对角线交点． 3．判定 （1）有三个角是直角的四边形是矩形． （2）对角线相等的平行四边形是矩形． 二、菱形的性质与判定 1．定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．性质 （1）菱形的四条边都相等． （2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角． 3．判定 （1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （2）四条边都相等的四边形是菱形． 三、正方形的性质与判定 1．定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形． 2．性质 （1）正方形的四条边都相等，四个角都是相等． （2）正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角． （3）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心． 3．判定 （1）一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． （2）一组邻边相等的矩形是正方形． （3）对角线互相垂直的矩形是正方形． （4）有一个角是直角的菱形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． 1．如图所示，设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 3． 在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（　　） A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8 4．下列命题中是真命题的是（　 　） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形 5．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D．5 6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A．1 B．1．3 C．1．2 D．1．5 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使得EF＝BC，连接AF，CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）请给△ABC添加一个条件，使得四边形ADCF是正方形，则添加的条件为　 　． 8．如图，正方形ABCD，点E在边BC上，△AEF为等腰直角三角形． （1）如图1，当∠AEF＝90°，求证：∠DCF＝45°； （2）如图2，当∠EAF＝90°，取EF的中点P，连接PD，求证：EC＝PD． 考点一、矩形的性质与判定 【例1】1．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF． （1）那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由． （2）在（1）的前提下△ABC满足什么条件，四边形AECF是正方形？（直接写出答案，无需证明） 2．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的长． 3．如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝8，顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是　 　． 方法总结 矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：（1）先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2）先证明它是