第15讲 特殊三角形-备考2024年中考数学一轮复习高频考点精讲与热点题型精练（浙江专用）

第15讲　特殊三角形与解直角三角形 考纲要求 命题趋势 1．了解特殊三角形的有关概念，掌握其性质与判定． 2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题． 3．掌握特殊三角函数值及其应用 　　特殊三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查特殊三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力． 一、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形 的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 二、等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成 “等角 对等动”）。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 三、直角三角形的性质 1．直角三角形的两锐角互余． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 四、直角三角形的判定 1．有一个角等于900的三角形是直角三角形． 2．有两角 互余 的三角形是直角三角形． 3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么 这个三角形是直角三角形． 五、锐角三角函数： 在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－1 1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 六、同角三角函数关系公式 （1）；（2）tan A＝ 七、一些特殊角的三角函数值 1．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB＝5:12:13，则cos B＝（　 　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，DE是中位线，∠B的平分线交DE于F，则△ABF一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 3．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的个数是（　 　） ①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等； ③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等； ④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（　　） A．32 B．42 C．32或42 D．以上都不对 6．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD=　　 ． 7．已知α，β均为锐角，且满足|sinα﹣|+（tanβ﹣1）2＝0，则α+β＝ 　． 8．已知直角三角形的三边长分别为5、12、x，则x=　　 ． 9．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中　 　． 10．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°． （1）如图1，当点C在AD上时，∠BAC＝90°，连接CE，若∠ABC＝30°，求∠CED的度数； （2）如图2，若∠BAC≠90°，连接BE、CD，F为BE中点，连接AF，求证：AF＝CD． 11．定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”． （1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，求△ABC中AB边的“中偏度值”； （2）在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，求△ABC中BC边的“中偏度值”． 考点一、特殊三角形的判定 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论． 方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得． 举一反