6.2.4 向量的数量积（第一课时）（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积 （第一课时） 复习导入 在前面的课程中，我们学习了向量的线性运算，包括哪些？ 向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？ 规定实数与向量的积是一个向量 长度： 方向：当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 复习导入 问题：八戒、沙僧把同样质量大宝箱拖动同样的位移进入白马寺，他们做的功是否一样？ “哼”老猪我偏要向右！ 我老沙喜欢天天向上 F2 . F1 . θ 问题：你能把所做的功表示出来吗？ ，其中 是向量 的夹角，功是标量. 新知探究 向量的夹角： 已知两个非零向量，， 如图，是平面上的任意一点，作 ， ,则叫做向量与的夹角. 注：1.向量的夹角可表示为<>； 2.向量夹角范围是. 特殊情况 θ 与同向 与垂直，记作 与反向 新知探究 辨析1：试判断下列向量的夹角。 辨析2：已知||＝||＝2，且与的夹角为60°，则＋与的夹角是多少？－与的夹角又是多少？ 60° 30° . . 【答案】：，. 找夹角，先确定是否共起点。 新知探究 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 注：1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量. 2、“”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替. 问题：特别的，若与共线，=？；若呢？ (1) (2)当与同向时，； 当与反向时，； 特别地， . 练习巩固 例9：已知，，与的夹角，求. 解： 例10：设，，求与的夹角 解：由，得 因为，所以 新知探究 问题：在计算所做的功的过程中，我们会先求力在物体运动方向上的分力，你能将其表示出来吗？ 思考：，其中，你会联想到什么？ O θ M1 O θ M1 投影 新知探究 投影： 设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 新知探究 思考：，其中，你会联想到什么？如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 与共线，于是. ①当为锐角时， 与方向相同， ， 所以 O θ M1 O θ M1 ②当为钝角时， 与方向相反， ， 即 新知探究 ③当时， 所以 ④当时， 所以 O M1 O θ ⑤当为直角时，， 所以 O θ 对于任意的， 都有 新知探究 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1). (2) (3)当与同向时，； 当与反向时，. (4) 特别地， . 思考：如果，是否有，或？ 不一定，还有可能 注常常记作 练习巩固 练习1：已知，，分别根据下列条件计算与的数量积： (1) (2)； (3)与的夹角为60°. 解：设与的夹角为. (1)当时，若与同向，则， 若与反向，则， (2)当时，与的夹角为90°， (3)当与的夹角为60°时， 练习巩固 变式1-1：已知正三角形的边长为，求： (1)(2)(3) 解：(1)∵与的夹角为60°， ∴ (2)∵与的夹角为120°， ∴ (3)∵与的夹角为60°， ∴ 求数量积： 练习巩固 练习2：已知，且与的夹角为60°，则与的夹角是多少？与的夹角又是多少？ 解：如图所示，作，，且. 以，为邻边作平行四边形，则，. 因为，所以平行四边形是菱形， 又， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°， 即与的夹角是30°，与的夹角是60°. 练习巩固 变式2-1：在中，，，则与的夹角是（ ）. A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】： 变式2-2：已知，，，则与的夹角是_________. 【答案】： 求夹角： 练习巩固 练习3：在等腰三角形中，，，为的中点. (1)求在上的投影向量； (2)求在上的投影向量的长度. 解：如图，连接因为为等腰三角形，且为的中点，所以 又，，所以 由图可知与的夹角为的补角， 所以与的夹角为150°. (1)在上的投影向量为 (2)在上的投影向量为 练习巩固 变式3-1：在已知，，与的夹角为45°，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）. A