2024年中考数学冲刺复习讲义二次函数压轴题(1)

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题（1） （一） 线段最值、定值类 方法提炼： 1.已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、O，求AM+OM最小值的问题，我们只需做出点O关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+OM的最小值。同理，我们也可以做出点A关于这条直线的对称点A´，将点O与A´连接起来交直线与点M，那么OA´就是AM+OM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 2.初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。 例题探究 1、 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． ①求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ②判断△ABC的形状，证明你的结论； ③点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值． 2、如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，2），此抛物线的对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）． （1）求B点坐标以及△ABC的面积； （2）求抛物线的解析式； （3）过点C作x轴的平行线交此抛物线的对称轴于点D，你能判断四边形ABDC是什么四边形吗？并证明你的结论； （4）若一个动点P自OC的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点C，求使点P运动的总路径（ME+EF+FC）最短的点E、F的坐标，并求出这个最短总路径的长． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）. （1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由. 4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． （二） 图形面积类 方法提炼： 三角形面积最值。分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或者与坐标轴平行属于不规则，用割补法或S △ = 水平宽铅锤高。 四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形。 例题探究 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 3、抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）连结CA，CB，对称轴x=1与线段AB交于点D，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ； （3）如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB = S△CAB ？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）设点H是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB的面积是6，求点H的坐标。 （3）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ