2024年中考数学 高频考点突破：二次函数与其他问题

2024年中考数学 高频考点突破：二次函数与其他问题 1．抛物线（、为常数，且）过点和两点，且交轴于另一点． (1)求抛物线解析式； (2)求； (3)如右图，连接，，，线段关于直线对称，得线段，交抛物线于点，求点坐标． 2．如图，直线与 轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与 轴另一交点为，顶点为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴上找一点，使 的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点． ①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值； ②如果，求点的坐标． 4．如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、． (1)求的值及该抛物线对应的函数关系式； (2)求证：①；②是的中点； (3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 5．我们定义一种新函数：形如的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数的图像，根据该图像解答下列问题： (1)求该函数图像与轴和轴的交点坐标． (2)当函数值随值的增大而减小时，求自变量的取值范围． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ； (3)如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求点N到直线的距离最大值，并求出此时点P的坐标． (3)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由． 8．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于，已知点坐标为，点坐标为．                   图1                    图2 (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，在抛物线对称轴上找一点，使的和最小，求点的坐标； (3)如图2.点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C    (1)直接写出点P的坐标为 ； (2)如图，若A、B两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点E、F在x轴上，M、N位于抛物线上，求点E的坐标； (3)若线段，点Q为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设Q的横坐标为m，当时，求k的取值范围． 10．抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如图1，是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，为线段上方抛物线上的一动点（点不与点重合），过点作交轴于点，交线段于点，若，请直接写出点的坐标． 11．如图1，已知抛物线：过点，，． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点T在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且，求点T的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个长度单位、向上平移经过点得抛物线，抛物线上任取一点E，连接EP并延长交直线与点F，作轴交抛物线于点Q，连接EQ，设E点的横坐标为t，求证：对于每个给定的t，直线EQ恒过某一定点． 12．如图1，抛物线C：与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线． (1)求抛物线C的解析式； (2)已知点，点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)如图2，将抛物线C平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，它们与y轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线必过定点． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点为抛物线与轴的另一交点． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图1，点在线段上（点与点，不重合），过点作，交直线于点，设的长为，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴，交抛物线