2024年中考数学高频考点突破——圆的切线证明专题

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线证明专题 1．如图，为的直径，点D为圆上任意一点，过点D作的切线交直径的延长线于点C，过点O作交的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 2．如图，在中，，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线段、的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．如图，为的直径，弦，平分，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 5．如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，的角平分线交半圆O于点D，过点D作的垂线，垂足为E，连接交于点F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，半圆O的半径为4，求的长． 7．如图，四边形内接于是的直径，过点作于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证； (2)过点作于点，若，求证：为的切线． 8．如图，⊙与边长为的等边的边、分别交于点、点，是直径，过点作于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)连接，当是⊙的切线时，求⊙的半径． 9．如图，为等腰直角三角形，，点A，B在⊙O上，，的延长线分别与⊙O交于点E，F，G为延长线上一点，． (1)求证：为的切线； (2)若，求与弦围成的阴影部分面积． 10．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点A作的延长线于点，已知平分． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径和的长． 11．如图，是的直径，点P在的延长线上，弦交于点D．连接，且． (1)求证：； (2)求证：是的切线； 12．如图，为的切线，A为切点，过A作，垂足为C，交于点B，延长与的延长线交于点D． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 13．如图，半径是的中，与相切于点，与交于点，点是 延长线上一点，且，是半圆上的一点，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)求图中阴影部分的面积． 14．如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 15．如图1，的半径为，平行四边形的顶点A，B，C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若也与相切，求证：四边形是菱形； (3)如图2，与相交于点E，连接于，当时，求平行四边形的对角线的长及阴影部分图形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； （2）设的半径长为r，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的半径长为6． 2．（1）证明：如图，连接、， ， 为直径， ， ， ， 点为线段的中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 由（1）可得，， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， ． 3．（1）证明：连接，连接交于，    ， ， ， ， ，， ， 半径， 是的切线； （2）解：设， ， ， ， ， ， ，， 是的中位线， ． 4．（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴的半径长为2． 5．（1）证明：连接， ，， ， 是的切线， ， 在与中， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：，， 在中，， 、为的切线， ， 在中，，即， 解得， ． 6．（1）解：如图， 连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的切线． （2）解：如图， 连接， 是半圆O的直径，， ，， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在中， ． 7．（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：过点作于点，连接， ∵，，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴为的切线． 8．（1）证明：如图所示，连接，可得， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即是⊙的切线． （2）由（1）知， ， ，， ， ， ； ， ； 是⊙的切线， ， ， ， ， 即， 解得． 因此，当是⊙的切线时，⊙的半径． 9．（1）