2024年中考 数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）

2024年中考数学高频压轴题训练—— 二次函数压轴题（特殊四边形） 1．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式以及直线的解析式； (2)在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； (3)E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求的值； (2)在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标；（提醒满足条件的点可能不只一个） (3)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，与轴相交于点，连接、、，当四边形的面积最大时，请你说明四边形的形状． 3．如图1，已知抛物线顶点A在x轴上，直线l：y=x-交抛物线于A，B两点，且AB=2 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与y轴交于C点，点P在抛物线上，且在第一象限，∠APC=45°，求P点坐标； (3)如图2，过点M（1，-1）作直线交抛物线与E、F，点N在抛物线上且NE∥x轴，连FN，试证明：直线FN过定点，并求定点的坐标． 4．综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于点A（－4，0），点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴为直线，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的表达式并直接写出直线BC和直线AC的函数表达式； (2)连接AC，BC，点P是线段AC上一动点，交BC于点Q，交y轴于点F，连接OQ，当四边形APQO是平行四边形时，求点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，设点P的纵坐标为m，在点P的运动过程中，是否存在△OPQ是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，y=ax2-2ax+a-4与x轴负半轴交于A，交y轴于B，过抛物线顶点C作轴，垂足为D，四边形AOCD是平行四边形． (1)求抛物线的对称轴以及二次函数的解析式； (2)作轴交抛物线于另一点E，交OC于F，求EF的长； (3)该二次函数图象上有一点G（m，n）若点G到y轴的距离小于2，则n的取值范围为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且点A的坐标为，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB＝3OA． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程． 7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值． (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与直线在第二象限交于点，过点作轴，垂足为点．若是直线上方该抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积的最大值； （3）连接交于点，如图2，线段与能否互相平分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 9．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标； （2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标． 10．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个