期末专项训练：证明题2023-2024学年人教版数学八年级上册

2023-2024学年人教版数学八年级上册期末专项训练： 证明题 1．如图所示，在中，，在的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了D，E处，设与的交点为． (1)证明：． (2)小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 2．如图，在中，，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，为中点，求的长． 4．如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且． (1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K； (2)在（1）的条件下， ①求证：是等边三角形； ②求证：． 5．如图，在中，D是上一点（不与点B，C重合），将沿直线翻折得到，将平移得到（点B与点E为对应点），连接．    (1)求证：； (2)连接，若在点D的运动过程中，始终有，写出需要满足的条件，并证明． 6．如图，在四边形中，，，，为延长线上一点，过点作交于点． (1)如图1，若，，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 7．如图，已知，点，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 8．如图，已知：在中，，点D，E分别在边，上，．    (1)求证：； (2)若与交于点F，求证：． 9．如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证： (1)； (2)． 10．如图，在中，点，分别是和上的点，满足，连接并延长交延长线于点． (1)若求证：； (2)如图，过作，垂足为． ①求证：； ②如图，连接，若，，的面积为，求的面积． 11．在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．    求证： (1)． (2)垂直平分． 12．如图，在和中，． (1)如图1，当点C在上时，，连接，若，求的度数； (2)如图2，当点C在上时，，延长交于M，连接，求证：平分； (3)如图3，若，连接、，F为中点，连接，请猜想线段、之间的数量关系，并证明你的猜想． 13．如图1，在中，，，点P在线段上（不与点B、点C重合）运动，以为腰在上方作等腰直角，，于点E，且与交于点M．    (1)求证：； (2)如图2，交于点N，连接，证明：． 14．当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题． 如图，已知，点D是的中点，延长至点E，使，连接，易得到，从而得到，．    已知，点D是的中点．    (1)如图1，点E在上，延长交于点F，且，求证：；小明同学应用倍长中线的方法，延长至点M，使，连接，请你帮助他写出证明过程． (2)如图2，点E，G在射线上，连接，延长交于点F，若，G为的中点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点M是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点P，连接，当的周长最小时，求的度数． 15．已知，在四边形中，，．      (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，在的延长线上取一点，连接，在上取一点，连接，当时，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，平分交于点，连接，当，时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：两只小蚂蚁分别同时从，出发，速度相同， 后两只小蚂蚁爬行的路程相等， 即． 在和中， ． （2）解：无变化．理由如下： ， ． ， ． 由，得， ． ， 的大小为定值，即的大小无变化． 2．（1）解：证明：是的角平分线， ． 由作图知：． 在和中， ， ， （2），为的角平分线， ， 由作图知：． ， ， ，为的角平分线， ． ． 3．（1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 的长为8． 4．（1）解：以点为圆心任意长为半径画弧交于两点，以点为圆心同样长为半径画圆弧，再用圆规量取之间距离，并使其等于的长，连接即可得到，如下图所示： ； （2）①解：∵等边， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴是等边三角形； ②解：连接， ， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 5．（1）解：将沿直线翻折得到， ，． 将平移得到（点B与点E为对应点）， ，． ． ． ． （2）解：需要满足的条件为． 证明：此时图形如图所示．    由（1）可知 ，． ， ，． ， ． ． ． ． 6．（1）解：， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，