专题16.17 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.17 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 特别提醒：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 特别提醒：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 特别提醒：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别提醒：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 【知识点二】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 特别提醒： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别提醒： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【考点目录】 【考点1】二次根式及相关概念； 【考点2】二次根式的性质； 【考点3】二次根式的大小比较； 【考点4】二次根式运算与求值； 【考点5】二次根式的应用. 【考点一】二次根式及相关概念； （1）二次根式有意义的条件 【例1】（2023上·山东济南·八年级统考阶段练习）（1）若有意义，则满足条件____． （2）若，求的值． 【答案】（1）（2）6 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列式求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得，解得，进而确定的值，然后代入求值即可． 解：（1）若有意义， 则有， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴，解得， ∴可有，解得， ∴． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，理解并掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 【变式1】（2024上·河南周口·九年级校联考期末）若有意义，则x、y的取值范围不可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由题意知，异号或其中至少一个为0，由此即可作出判断． 解：由题意知，， 则， 即异号或其中至少一个为0，故是不可能的； 故选：C． 【变式2】（2023·广东潮州·统考三模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案． 解：由题意得，， 解得． 故答案为：． （2）最简二次根式与同类二次根式 【例2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】（1）；（2）；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可． 解：（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：， （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【变式1】（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念逐项一一判断即可． 解：、是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中