第一章 空间向量与立体几何 章节测试题-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修一第一章 空间向量与立体几何章节测试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．P是正四面体ABCD的面ABC内一动点,E为棱AD中点,记DP与平面BCE成角为定值,若点P的轨迹为一段抛物线,则( ) A. B. C. D. 2．已知正四棱柱中,,则CD与平面所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 3．如图,在底面为正方形的四棱锥中,已知平面ABCD,且．若点M为PD中点,则直线CM与PB所成角的大小为( ) A.60° B.45° C.30° D.90° 4．如图三棱柱中,G是棱的中点,若,,,则( ) A. B. C. D. 5．如图,在正方体中,不能互相垂直的两条直线是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 6．如图,在平行六面体中,( ) A. B. C. D. 7．阅读材料:空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为,点,则点Q到平面距离为( ) A. B. C. D. 8．已知三棱锥中,点M,N分别为AB,OC的中点,且,,,则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．若与的夹角为钝角,则x的取值可能为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10．已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中不能确定点M,A,B,C共面的是( ) A. B. C. D. 11．如图,正方体的棱长为1,正方形ABCD的中心为O,棱,的中点分别为E,F,则( ) A. B. C.异面直线与EF所成角余弦值为 D.点F到直线的距离为 12．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( ) A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 三、填空题 13．已知空间向量,,则___________. 14．如图,正四棱柱中,设,,点P在线段上,且,则直线与平面PBD所成角的正弦值是________. 15．如图,在三棱锥中,D是BC的中点,若,,,则等于____________. 16．如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 四、解答题 17．如图,在四棱锥中,E为棱AD上一点,,,四边形BCDE为矩形,且,,,平面BEF. （1）求证:平面PCD; （2）求二面角的大小. 18．如图,在平行六面体中,N,E,F分别是,AB,的中点,侧面平面ABCD,,,,. （1）求证:平面; （2）试求二面角的余弦值. 19．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,E为AD的中点,,,,,. （1）求点A到平面PCD的距离; （2）求直线PE与平面PBC所成角的余弦值; （3）在线段PE上是否存在点M,使得平面PBC?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 20．如图,四棱柱中,M是棱上的一点,平面ABCD,,,. （1）若M是的中点,证明：平面平面; （2）若,求平面AMB与平面所成锐二面角的余弦值. 21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，G为CD的中点，E，F是棱PD上两点（F在E的上方），且. （1）若平面AEG，求DE； （2）当点F到平面AEC的距离取得最大值时，求直线AG与平面AEC所成角的正弦值. 22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，是边长为2的等边三角形，平面平面，，，S为CD的中点. （1）求证：. （2）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值. 参考答案 1．答案：B 解析：由题意设四面体ABCD的棱长为2,设O为BC的中点, 以O为坐标原点,以OA为x轴,以OB为y轴,过O垂直于面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则可得,,取OA的三等分点G,F如图, 则,,,, 所以,,,,, 由题意设,, 和都是等边三角形,E为AD的中点,,, ,平面BCE,为平面BCE的一个法向量, 因为DP与平面BCE所成角为定值,则, 由题意可得, 因为P的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值, ,可得,此时,则,. 故选:B. 2．答案：A 解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设, 则,, 设平面的法向量为, 则,令,则,所以. 设CD与平面所成角为, 则. 故选：A. 3．答案：C 解析：如图所示：以A为坐标原点,以,,为单位向量建立空间直角坐标系, 设,则,,,,, 故,, 故, 由异面直线夹角的范围是,故直线CM与PB所成角的大小为. 故选：C. 4．答案：B 解析：由已知可得, 因为G为棱的中点,则. 故