2024年四川省成都市中考数学一轮复习：圆

2024成都中考数学一轮复习 圆 (学生版) 目标层级图 一.角度问题(圆心角,圆周角,弦,弧对应关系) 1、定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 【注意】在应用定理时,一定要保证“同弧或等弧”的前提。 【定理的证明】 在中,同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况,如图1。应分三种情况进行讨论。 如图1,已知:在中, 所对的圆周角是,圆心角是。 求证: 证明:由圆周角在圆内的位置关系,分三种情况讨论。 (1)圆心O在的一条边上(如图1-(1)) (2)圆心O在的内部,(如图1-(2)),作直径AD,由(1)得出结论得: (3)圆心O在的外部,(如图1-(3)),作直径AD,由(1)得出结论得: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径. 推论3:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等. 所对的两圆心角相等 所对的两条弦相等 所对的两条弧相等 所对的两条弦的弦心距相等 注意: 1.前提条件是在同圆或等圆中; 2.在由等弦推出等弧时应注意:优弧与优弧相等;劣弧与劣弧相等. 例1.如图,是圆的直径,,是上两点,连接,并延长交于点,连接,,如果,那么的度数为 . 例2.如图,在中,若,的直径等于4,则的长为 A. B.2 C. D. 例3. 如图,在中,若点是的中点,,则 A. B. C. D. 例4. 如图,为的外接圆,,则的度数为 A. B. C. D. 过关检测 1.如图,,,是上的三个点,,,则的度数为 . 2.如图,、、是半径为3的上的三点,已知,则弦的长为 A.3 B.6 C.3.5 D.1.5 3.如图,点、、在上,为等边三角形,则的度数是 A. B. C. D. 4.如图,的半径垂直于弦,垂足为点,连接并延长交于点,连接,.若,,则的面积为 A.12 B.15 C.16 D.18 5.如图,在中,点为弧的中点.若为锐角),则 A. B. C. D. 二.垂径定理及其应用 1、定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 2、推论: (1)平分弦(非直径)的直径,垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 【补充】圆的两条平行线所夹的弧相等. 【注意】注意推论(1)中“非直径”的约束条件,因为圆中任意两条直径都互相平分,但是不一定垂直. 应用垂径定理与推论进行计算时,往往要构造如右图所示的直角三角形,根据垂径定理与勾股定理有:,根据此公式,在,,三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量.所谓“知二推三”是也。 例1.如图,是的直径,弦于点,,,则 A. B. C. D. 例2.如图,在中,已知,,,以点为圆心,为半径的圆交于点,则的长为 . 例3.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,为的直径,弦于,寸,寸,求直径的长”. 尺寸)则 . 过关检测 1.如图,将半径为的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为 A. B. C. D. 2.如图,是的弦,半径于点,若的半径为10,,则的长是 . 3.如图,为的直径,弦于点,已知,,则的半径为 . 4.如图,所在的直线垂直平分线段,利用这样的工具,可以找到圆形工件的圆心.如果使用此工具找到圆心,最少使用次数为 A.1 B.2 C.3 D.4 三.内心外心 1.外心:三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形的外心,外心到三顶点的距离相等。 2.内心:三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心,内心到三角形三边距离相等。 3.重心:三角形的三条边的中线交于一点,该点叫做三角形的重心,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 例1.如图,是的外接圆,,交于点,,则的半径为 A.8 B. C. D.12 例2.下列说法中,正确的是( ) A.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 B.三点确定一个圆 C.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 D.任何三角形有且只有一个内切圆 过关检测 1. 如图,是的内接三角形,连接,过作于点,若的半径为2,,则弦的长为 . 2.如图,内接于,,的延长线交于点,若,,则 , . 3. 下列说法中,