江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题

常州市第一中学2023-2024学年第一学期期末质量调研 高二数学试卷 （时间：120分钟 页数：共6页 满分150分） 出卷人：程庆保 审卷人：姬成双 2024年1月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．155 B．165 C．290 D．310 2．若有以下两个命题：命题甲：成等比数列；命题乙：．则命题甲是乙的（    ）． A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． 5．“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（    ） A．720种 B．360种 C．320种 D．288种 6．已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（    ） A．36 B．35 C．34 D．33 7．数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为 A．84 B．168 C．76 D．152 8．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知为曲线上一动点，则（    ） A．的最小值为 B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C．到直线距离的最小值小于 D．的最小值为6 10．下列说法正确的是（    ） A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数. B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法. C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法. D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法. 11．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(   ) A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则 B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列 C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的) D．若最初有个桃子,则必有的倍数 12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．若点在椭圆上，则的最大值为 C．若点在椭圆上，的最大值为 D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知点是椭圆的两个焦点，横坐标为4的点在椭圆上，则的周长为 ． 14．已知数列满足（），则取最小值为 . 15．已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则实数的取值范围是 . 16． 我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果： . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知二项式. （1）当时，求二项式展开式中各系数的和； （2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数和成等差数列，且二项展开式中存在常数项，求的值. 18．我国自改革开放以来，生活越来越好，肥胖问题也日