专题19 排列组合与二项式定理常考小题（20大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题19 排列组合与二项式定理常考小题 【目录】 2 3 3 5 6 考点一：二项式定理之特定项、三项式问题 6 考点二：二项式定理之系数和问题 6 考点三：二项式定理之系数最值问题 7 考点四：特殊优先与正难则反策略 7 考点五：相邻问题与不相邻问题 8 考点六：列举法 8 考点七：定序问题（先选后排） 9 考点八：多面手问题 10 考点九：错位排列问题 10 考点十：涂色问题 10 考点十一：分组与分配问题 12 考点十二：隔板法 13 考点十三：查字典问题 13 考点十四：分解法模型与最短路径问题 13 考点十五：构造法模型和递推模型 15 考点十六：环排与多排问题 16 考点十七：配对型模型 16 考点十八：电路图模型 17 考点十九：机器人跳动模型 17 考点二十：波浪数模型 18 排列组合与二项式定理是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识． 考点要求 考题统计 考情分析 二项式定理 2023年北京卷第5题，4分 2023年天津卷第11题，5分 2022年I卷第13题，5分 2021年浙江卷第13题，6分 【命题预测】 预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． （2）热点是利用二项式定理求系数和问题以及利用排列组合解决生活问题. 排列组合 2023年乙卷第7题，5分 2023年II卷第3题，5分 2023年I卷第13题，5分 2022年II卷第5题，5分 2021年乙卷第6题，5分 1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种． 2、错位排列公式 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 （1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑： （1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数． 5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种． 7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”： （1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步． （2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形． （3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”． （4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排． 8、求二项展开式中的特定项的方法 求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求，再将的值代回通项求解，注意的取值范围． （1）第项：此时，直接代入通项； （2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为建立方程； （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 9、赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的