精品解析：2022年江苏省南京外国语学校特长生招生考试数学试题

2022【南外】特长生数学 1. 如图，是横坐标为2定点，点在直线上运动，，，当点从原点运动到横坐标为2的点时，点的运动距离为______． 2. 对于不等式与没有共同解，求的取值范围． 3. 对于与三条边与三个角中，有五个元素相等．已知，的最短边长为2．求的最短边的长度s的取值范围． 4. 在平面直角坐标系中，有一抛物线，其中为实数，和一个以为圆心，2为半径圆． （1）求出抛物线顶点中与的关系； （2）求出中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积． 5. 已知在中，，． （1）取值范围是______； （2）求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022【南外】特长生数学 1. 如图，是横坐标为2的定点，点在直线上运动，，，当点从原点运动到横坐标为2的点时，点的运动距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据手拉手相似模型可得三角形相似，从而推出点始终在线段上，结合相似比以及，即可求得答案； 另解：利用三垂直相似模型可得点B坐标，结合在上，利用坐标之间的的关系即可求得答案. 【详解】设点在时，在处，点在时，在处， 由手拉手相似模型可得∽，∽， 可得为定值，所以点始终在线段上 点从点运动到点的过程中，点从运动到，， 又M点在直线上，则， 故，所以， 故答案为： 另解：设点，， 根据三垂直相似模型得 因为在上，所以， 的横坐标变化2，则变化， 所以点的运动距离， 故答案为： 2. 对于不等式与没有共同解，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】求得的解集，即可将原问题转化为时，的问题，进而转化为恒成立问题，分离参数转化为恒成立，利用函数的单调性，求得当时的取值范围，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围. 【详解】解不等式得. “两不等式和没有共同解”等价于“当时，恒成立” 即当时恒成立. 当时， 要使得，只需使得恒成立 即恒成立. 由于为区间上单调增函数 当时取值范围是 所以，即的取值范围为. 3. 对于与的三条边与三个角中，有五个元素相等．已知，的最短边长为2．求的最短边的长度s的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】判断出与三角相等，由此设出它们的三边，根据三角形相似求得边之间的关系，结合三角形三边的不等式关系，解不等式，即可得答案. 【详解】由题意知与面积不相等，所以必须三角相等， 设与三边长分别为2，，和，，，其中， 由于∽，故， 所以，， 根据三角形三边不等式关系得，即，结合， 解得. 4. 在平面直角坐标系中，有一抛物线，其中为实数，和一个以为圆心，2为半径的圆． （1）求出抛物线顶点中与关系； （2）求出中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将抛物线方程配方，即可得答案； （2）设与抛物线相切，求出n的值，确定抛物线族扫过的面积均在上方，圆心恰好在这条线上，由此可求得答案. 【小问1详解】 由题意知抛物线， 故抛物线顶点坐标为，则， 所以； 【小问2详解】 设与抛物线相切，联立， 得， 令，解得， 则抛物线族扫过的面积均在上方，而圆心恰好在这条线上， 所以中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积． 5. 已知在中，，． （1）的取值范围是______； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：根据正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简，以及根据角的范围利用余弦函数性质，即可求得答案； 法二：点在弦所对圆心角为的的弧上，通过作辅助线，将化为一个圆的弦，结合圆的几何性质，即可求得答案； （2）法一：根据正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简，以及根据角的范围利用正弦函数性质，即可求得答案. 法二：利用几何作图，作辅助线，将化为一个圆的弦，结合圆的几何性质，即可求得答案； 小问1详解】 法一： 由题意知在中，，， 由正弦定理得， 则， 又，所以， ； 法二： 由题意可得点在弦所对圆心角为的的弧上， 如图，延长至点，使得，连接， 则，， 点在弦所对圆心角为的的弧上，当接近时，最小值为（取不到）， 当为的直径时，最大值为； 故． 【小问2详解】 法一： ，其中， 因为，所以， 所以． 法二：如图，延长至点，使得，连接，则， 过作上交于点，则，， 由勾股定理可得， 为定值，即为定角，则在以为弦的上， 当接近时，最小值为（取不到）， 当为的直径时，最大值为， 故． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用正弦定理，边角互化，即将边长的问题转化角的问题解决，解答时要注意三角恒等变换公式的应用，另外利用几何法解答时要注意作图分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$