压轴大题专练(04)（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

压轴大题专练(04) 1．已知函数f(x)＝ln x＋x＋a－axex，a>0. (1)求函数f(x)的最值； (2)当a>1时，证明：函数f(x)有两个零点． (1)解：f′(x)＝＋1－a(x＋1)ex＝， 由于a＞0，x＞0，所以1＋x＞0， 设g(x)＝1－axex， 则g′(x)＝－a(x＋1)ex＜0， 故函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 由于g(0)＝1＞0，g()＝1－e＜0， 故存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0. 故当x∈(0，x0)时，g(x)＞0，则f′(x)＞0， 当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＜0，则f′(x)＜0， 从而存在x0∈(0，)，f(x)的单调递增区间为(0，x0)，单调递减区间为(x0，＋∞). 函数f(x)的最大值为f(x0)＝ln x0＋x0＋a－ax0ex0， 由于g(x0)＝1－ax0ex0＝0，所以ex0＝， 故f(x0)＝ln ＋x0＋a－1＝a－1－ln A． 所以函数f(x)的最大值为a－1－ln a，没有最小值． (2)证明：设h(a)＝a－1－ln a(a＞1)，则h′(a)＝1－， 当a∈(1，＋∞)时，h′(a)＞0，故h(a)在(1，＋∞)上单调递增， 故h(a)＞h(1)＝0，即f(x0)＞0. 当a＞1时，由(1)知0＜x0＜＜1， 由于g()＝1－ae－a＝1－e－a＋ln a， 由(1)知a－ln a＞1， 且＜1，－a＋ln a＜0， 故g()＞0，即f′()＞0， 所以0＜＜x0，且f()＝ln ＋＋a－e＝(1－ae)＜0， 而f(1)＝a(1－e)＋1＜0，故函数f(x)有两个零点． 2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2，0)，离心率为.过点P(6，0)与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线x＝6于点M，N. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为原点．求证：∠PAN＋∠POM＝90°. (1)解：由题得a＝2，＝， ∴a＝2，c＝1，∴b＝， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：要证∠PAN＋∠POM＝90°， 只需证∠PAN＝90°－∠POM， 只需证明tan ∠PAN＝， 只需证明tan ∠PAN·tan ∠POM＝1， 只需证明kAN·kOM＝1， 设M(6，m)，N(6，n)， 只需证明·＝1，只需证明mn＝24. 设直线l的方程为y＝k(x－6)，k≠0， 联立椭圆方程＋＝1得 (3＋4k2)x2－48k2x＋144k2－12＝0， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 所以Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝， 又A，B，M三点共线，所以＝， ∴m＝，同理得n＝， 所以mn＝· ＝ ＝ ＝ ＝＝24. 所以∠PAN＋∠POM＝90°. 学科网（北京）股份有限公司 $$