压轴大题专练(02)（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

压轴大题专练(02) 1．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标． 解：(1)由函数的解析式可得： f′(x)＝3x2－2x＋a， 导函数的判别式Δ＝4－12a， 当Δ＝4－12a≤0，即a≥时， f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增， 当Δ＝4－12a＞0，即a＜时， f′(x)＝0的解为x1＝，x2＝， 当x∈(－∞，)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 综上可得：当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a＜时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减． (2)由题意可得：f(x0)＝x－x＋ax0＋1， f′(x0)＝3x－2x0＋a， 则切线方程为： y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)， 切线过坐标原点，则0－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(0－x0)， 整理可得2x－x－1＝0， 即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0，解得x0＝1， 则f(x0)＝f(1)＝1－1＋a＋1＝a＋1， f′(x0)＝f′(1)＝1＋A． 切线方程为y＝(a＋1)x， 与f(x)＝x3－x2＋ax＋1联立得 x3－x2＋ax＋1＝(a＋1)x， 化简得x3－x2－x＋1＝0，由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， ∴x－1是x3－x2－x＋1的一个因式， ∴该方程可以分解因式为(x－1)(x2－1)＝0， 解得x1＝1，x2＝－1，f(－1)＝－1－a， 综上，曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，a＋1)和(－1，－1－a). 2．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 解：(1)设F(c，0)，因为直线AF的斜率为，A(0，－2)， 所以＝，c＝. 又＝，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)当直线l斜率不存在时不符合题意，故直线l斜率一定存在． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 当l⊥x轴时不合题意，故可设直线l的方程为y＝kx－2， 联立消去y得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 当Δ＝16(4k2－3)＞0时，解得k2＞， 即k＜－或k＞， x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|PQ|＝ ＝ ＝， 点O到直线l的距离d＝， 所以S△OPQ＝d|PQ|＝， 设＝t＞0，则4k2＝t2＋3， S△OPQ＝＝≤＝1，当且仅当t＝2，即k＝±时取等号，满足k2＞. 所以△OPQ的面积最大时直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$