压轴大题专练(06)（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

压轴大题专练(06) 1．已知函数f(x)＝＋2ln x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设函数g(x)＝，求g(x)在区间[，e]上的最大值与最小值． 解：(1)函数f(x)＝＋2ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝，令f′(x)＜0，得0＜x＜； 令f′(x)＞0，得x＞. 所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． (2)因为g(x)＝＋，x∈[，e]， g′(x)＝－＝， 设m(x)＝x－x ln x－1，x∈[，e]， 则m′(x)＝－ln x. 当x∈[，1)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增， 当x∈(1，e]时，m′(x)＜0，m(x)单调递减， m(x)≤m(1)＝0， ∴g′(x)≤0，所以函数g(x)在[，e]上单调递减， ∴g(x)max＝g()＝e2－2e， g(x)min＝g(e)＝＋. 2．已知：①如图，长为2，宽为的矩形ABCD，以A、B为焦点的椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)恰好过C，D两点． ②设圆(x＋)2＋y2＝16的圆心为S，直线l过点T(，0)，且与x轴不重合，直线l交圆S于C，D两点，过点T作SC的平行线交SD于M，判断点M的轨迹是否为椭圆． (1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M的标准方程； (2)根据(1)所得椭圆M的标准方程，过椭圆M右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交椭圆PQ两点，在x轴上是否存在点S，使得·为定值． 解：(1)若选条件①：由题可知，|AB|＝2＝2c， A(－，0)，B(，0)，C(，)， 则解得a＝2，b＝1， 所以椭圆M的标准方程为＋y2＝1. 若选条件②：由于圆(x＋)2＋y2＝16的圆心为S， 则S(－，0)，半径r＝4， ∴C，D都在圆上，则|SC|＝|SD|＝r＝4， 所以△CSD为等腰三角形， 而MT∥SC，则∠MTD＝∠SCD＝∠MDT， 所以△MDT为等腰三角形，则|MT|＝|MD|， ∴|MS|＋|MT|＝|MS|＋|MD|＝|SD|＝4， ∴|MS|＋|MT|＝4，其中S(－，0)，T(，0)， 由椭圆的定义可知，点M的轨迹为以S(－，0)，T(，0)为焦点的椭圆， 可得2a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1， 所以椭圆M的标准方程为：＋y2＝1(y≠0). (2)由题可知，假设x轴上存在点S(m，0)，使得·为定值，由于直线l过椭圆M右焦点F(，0)， 可设直线l的方程为y＝k(x－)， 且设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由消去y得 (1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1y2＝k(x1－)·k(x2－) ＝k2x1x2－k2(x1＋x2)＋3k2， ∵＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)， ∴·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2－(k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋3k2 ＝(1＋k2)－(k2＋m)＋m2＋3k2 ＝ ＝定值， ∴4(－4＋m2)＝11－8m＋4m2，解得m＝， 所以在x轴上存在点S(，0)，使得·为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$