中档大题专练(03)（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

中档大题专练(03) 1．家用自来水水龙头由于使用频繁，很容易损坏，受水龙头在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关，某阀门厂生产尺寸都为4分(指的是英制尺寸)的甲(不锈钢阀芯)，乙(黄铜阀芯)两种品牌的家用水龙头，保修期均为1年(4个季度)，现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件，统计数据如下表， 品牌 甲 乙 首次出现 损坏时间 x(季度) 0＜x ≤4 x＞4 0＜x ≤2 2＜x ≤4 x＞4 水龙头 数量(件) 20 180 8 16 176 每件的 利润(元) 3.6 5.8 2 4 6 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲、乙两种品牌水龙头中各随机抽取一件，试比较首次出现损坏发生在保修期内的概率的大小； (2)由于资金限制，只能生产其中一种品牌的水龙头，若从水龙头的利润的平均值考虑，你认为应选择生产哪种品牌的水龙头比较合理？ 解：(1)设“甲、乙两种品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件A，B， ∴P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P(B)＞P(A). 即乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的概率大于甲品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的概率． (2)由题意，甲水龙头的利润的平均值 1＝＝5.58， 乙水龙头的利润的平均值2＝＝5.68， 因为1＜2，所以应生产乙品牌的水龙头． 2．从下列两题中任选一道作答： 2­1.数列问题： 在等比数列{an}中a1＝1，且a2，a3＋1，a4成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 由于a1＝1，则an＝a1qn－1＝qn－1， 因为a2，a3＋1，a4成等差数列， 所以2(a3＋1)＝a2＋a4， 所以2(q2＋1)＝q＋q3，解得q＝2， 所以an＝2n－1. (2)由(1)得bn＝＝ ＝＝(－1)n(＋)， 当n为偶数时， Sn＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(＋)＝－1－＋＋－－＋…－－＋＋＝－1＋＝－， 当n为奇数时， Sn＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－1－＋＋－－＋…＋＋－－＝－1－＝－， 所以Sn＝ 2­2.解三角形问题： 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若c＝2a，cb＝(c2－a2－b2). (1)求cos C的值； (2)求sin (C＋A)的值． 解：(1)由c＝2a，cb＝(c2－a2－b2)， 得2ab＝－(a2＋b2－c2)，得cos C＝－. (2)由(1)可得C为钝角，sin C＝， 代入＝，得sin A＝. A为锐角，∴cos A＝＝， 则sin(C＋A)＝×＋(－)×＝. 3. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF折到△DEF的位置，使DM＝. (1)证明：DO⊥平面EFCB； (2)若平面EFCB内的直线EN∥平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥R­FNC的体积． (1)证明：∵△ABC为等边三角形，M为BC中点， ∴AM⊥BC，∴AM＝ ＝； ∵AE＝AF＝2，即AE＝AB，AF＝AC， ∴EF∥BC，∴AO＝AM， 则在△DOM中，DO＝AO＝AM＝， OM＝AM＝，DM＝， ∴DM2＝DO2＋OM2，即DO⊥OM； ∵EF∥BC，∴O为EF中点， 又DE＝DF，∴DO⊥EF. ∵OM∩EF＝O，OM，EF⊂平面EFCB， ∴DO⊥平面EFCB． (2)解：连接OC，过E在平面EBCF上作EF∥OC交BC于点N， ∵OC⊂平面DOC，EN⊄平面DOC， ∴EN∥平面DOC， 此时四边形OCNE为平行四边形， ∴CN＝OE＝EF＝BC＝1， ∴VR­FNC＝VD­FNC＝××S△FNC×DO＝×××1×1××＝， 即三棱锥R­FNC的体积为. 4．从下列两题中任选一道作答： 4­1.坐标系与参数方程： 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1－sin θ(0≤θ＜2π，ρ≥0)，M为该曲线上一动点． (1)当|OM|＝时，求M的直角坐标； (2)若射线OM逆时针旋转后与该曲线交于点N，求△OMN面积的最大值． 解：(1)因为|OM|＝，所以＝1－sin θ，sin θ＝， 因为0≤θ＜2π，所以θ＝或θ＝， 所以M的极坐标为(，)或(，)， 故M的直角坐标为(，)或(－，). (2)设M(ρ1，θ)，θ∈[0，