高考热身练(四) 数学文化（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

高考热身练(四)　数学文化 题组一　数列与数学文化 1．(2022·江苏如东模拟)在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数做来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，则年龄最大的儿子分到的绵是(　　) A．65斤　　　　　　　　 B．82斤 C．167斤 D．184斤 A　解析：设8个儿子按年龄从大到小依次分绵a1斤，a2斤，a3斤，…，a8斤，则数列{an}为公差为17的等差数列．因为绵的总数为996斤，所以8a1＋×17＝996，解得a1＝65，所以年龄最大的儿子分到的绵是65斤． 2．(2022·湖南株洲一模)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁，…….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中义工年龄不满24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为(　　) A．18岁 B．19岁 C．20岁 D．21岁 B　解析：设19位老人的年龄由小到大依次为a1、a2、…、a19(单位：岁)，设义工的年龄为x岁，由已知可得a1＋a2＋…＋a19＋x＝＋x＝19a10＋x＝1 520，则19a10＝1 520－x，∵1≤x≤24且x∈N*，则19a10＝1 520－x∈[1 496，1 519]，而在[1 496，1 519]内能被19整除的正整数为1 501，则1 520－x＝1 501，解得x＝19，所以义工的年龄为19岁． 3．(2022·江苏泰州模拟)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列．依此规则，插入的第四个数应为(　　) D　解析：设等比数列的公比为q(q>0)，根据题意可得a1＝1，a13＝2，又a13＝a1q12，所以q12＝＝2，所以q4＝2，所以插入的第四个数a5＝a1·q4＝. 4．(2022·江苏南通模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1且an＝则解下6个环所需的最少移动次数为(　　) A．13 B．16 C．31 D．64 C　解析：∵a1＝1，an＝ ∴a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4， a4＝2a3－1＝7，a5＝2a4＋2＝16，a6＝2a5－1＝31， 所以解下6个环所需的最少移动次数为31. 题组二　三角函数与数学文化 1．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t＝≈0.618还可以表示成2sin 18°，则＝(　　) A．4 B．－1 C．2 D． D　解析：因为t＝2sin18°， ∴＝＝＝＝. 2．(2021·江苏连云港模拟)唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表．已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l＝h tan θ，当晷影长为0.7时，太阳天顶距为5°.若太阳天顶距为1°时，则晷影长为(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 3°≈0.034 9，tan 5°≈0.087 5)(　　) A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24 A　解析：依题意，0.7＝htan 5°， 则有h＝，l＝htan 1°＝×tan 1°＝×0.017 5＝0.14，所以晷影长为0.14. 3．(2022·江苏徐州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 2α的值为(　　) A． B． C． D． D　解析：设三角形较短的直角边为x，则较长的直角边为x＋1，所以x2＋(x＋1)2＝25，解得x＝3或x＝－4(舍去).所以ta