专题检测(二十一) 利用导数研究不等式（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题检测（二十一）利用导数研究不等式 A组基础强化练 1.(2022山东威海期末)已知函数fx)=e-r一A. (1)当a=1时，求过点(0，一1)且与曲线y=x)相切的直线方程： (2)若x)≥0，求实数a的取值范围 解：(1)当a=1时，点(0，一1)不在函数图象上，(x)=e 一1，设切点为(x0,en一xo-1), 则切线方程为y-(e。一xo一1)=f(xo)(,x-x0), 因为过点(0，一1)，所以-1-e十r0十1=-(e一1).0 即-e=一xoe】 解得xo=1,因此所求的直线方程为(e一1)x一y一1=0. (2)f(x)=e-a, 当a≤0时，f(x)>0,所以x)在R上单调递增，其中当a=0时，x)=e>0,符合题 意， 当0时，取=1-au<0,0e-1<0,不特合题意： 当a>0时，对x∈(-o,lna),(x)<0,所以x)在(-o,na)上单调递减，对寸 x∈na,+o),fr)>0, 所以x)在(na,十o)上单调递增， 所以fx)≥na), 要使fr)≥0，只需fIn a)≥0，fna)=ea-alna-a≥0，解得0<a≤l: 综上所述，实数a的取值范围为[0,1小 2.(2022安徽淮南一模)已知函数x)=mx一1 (1)讨论函数x)的单调性： (2)己知入>0，若存在x∈(1，十∞)时，不等式x2一x≥(ex一1)nx成立，求的取值范 围。 解：(1)函数x)的定义域为(0,1)U(1,十∞) 因为fx)=1m-1,所以fx)=1x(x-1)2 令g)=1-Ix-hxx>0且x≠1)， 则g'(x)=1一xx2,令g'(x)=0得x=1, 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,gx)单调递增： 当x∈(1，十∞)时，g‘x)<0,gx)单调递减. 又因为g(1)=0, 所以当x∈(0,1)U(1,+∞)时，gx)<0,f(x0, ◆独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以函数y=)在区间(01)，(1，十o)上单调递减. (2).x2-≥(ex-1)nx, (c-1)ne≥(e-l)lnx, 当>0，x>1时，x-10,ex-1>0 所求不等式可化为1 n elxekx-I≥lmrx一I, 即e)≥x), :A>0易知ex∈(1，十∞)， 由(1)知，y=x)在(1，+∞)单调递减， 故只需ex≤x在(I,十∞)上能成立. 两边同取自然对数，得x≤lnx, 即1≤m在(1，十∞)上能成立. 令ox)=mxx>1),则o'x)=1-lmx2, 今o'x)>0,得1<x<e:令o'(x)<0,得x>e, 所以当x∈(1，e)时，中')>0，(x)单调递增， 当x∈(e,十)时，中'(x)0,(x)单调递减， ..(x)m=o(e)=le, 所以i≤le,又0， 故的取值范围是(O,Ie] 3.(2022陕西西安中学模拟)已知函数fx)=(x+1)nx一x+1. (1)若fx)≤x2+a+1,求a的取值范围 (2)证明：(x-1)x)≥0. (1)解：由函数x)=x十1)nx一x+1,定义域为(0，+∞)， f(x)=x+Ix+Inx-1=Inx+Ix, f()=xnx+1, 题设yf(x)≤x2+a十1等价于lnx-x≤a. 令gx)=nx-x,则g'()=1x-1=1一 当0<x<1,g'(x)>0:当x>1时，g'c)<0, ·gx)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减. 所以x=1是gx)的最大值点， gx)≤g(1)=-1,所以a≥-1 综上，a的取值范围是[一1，十∞) (2)证明：由(1)知，gx)≤g(1)=-1,即1nx一x+1≤0 当0<x<1时， ·独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 x)=+1)nx-x+1=xlnx+nx-x+1)≤0： 当x≥1时，x)=nx+(xlnx-x+1) =Inx+x(Inx+/x-1) =lhnx-xn1x-1x+1)≥0， 所以(-1x≥0， 4.(2022山东滨州模拟)1)设b>a>0,证明：ab< b-aln b-in a; (2)函数x)=lnx+12sinx一x一1,3xx2>0,使)=x2),证明：xx2<4 证明：(1)：b>a>0,所以nb-na>0, 要证明ab<b-amb-na,只需证lnb-lna<b-aMab), 即证明In ba-baf(ba, 设ba=t,则Pl,f0=nt-t-Ir0, f (()=It-tt)t=lt-t+12tr(t) =t)-