专题检测(二十) 利用导数研究函数的性质（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题检测（二十）利用导数研究函数的性质 A组基础强化练 1.已知函数x)=a3+x2(a∈R)在x=一43处取得极值. (1)确定a的值： (2)若gx)=x)e,求函数g(c)的单调区间 解：(1)对x)求导得，f(x)=3c2+2x, :x)=a3十x2(a∈R)在x=一43处取得极值， f(-43)=0, .3a×169+2×(-43)=0,解得a=12 经验证，a=12符合题意. (2)由(1)得，gx)=(123+x2e, g′(6x)=(32x2+2x)e+(123+x2)e =12x+1)r+4)e 令g')=0,解得x=0,x=一1或x=-4, 令g')>0得，x>0或-4<x<-1: 令g')<0得，x<-4或-1<x<0 .gx)的单调递增区间为（一4，一1）和(0，+∞)，单调递减区间为（一∞，一4）和（一1， 0) 2.(2022四川内江一模)已知函数x)=anx一b2(x>0),a,b∈R,若x)在x=1处 与直线y=一12相切. (1)求a,b的值： (2)求x)在[le,e]上的极值。 解：(1)由趣意，函数x)=anx-br2x>0): 可得fx)=am-2bx, 因为函数x)在x=1处与直线y=一12相切， 所以f'(1)=0,12),即a-2b=0,12),解得a=1,12). (2)由(1)得fx)=lnx-12x2,定义域为0，+∞)， 且fx)=x-x=1-x2x, 当x∈[le,e,令fx)>0,得le≤x<1;令fx)<0,得1<r≤e 所以fx)在1e,1)上单调递增，在(I,e]上单调递减， 所以x)在[1e,©上的极大值为I)=一I2,无极小值， 3.(2021全国甲卷)设函数x)=a2x2+am-3nx+1,其中a>0. (1)讨论x)的单调性： (2)若y=fx)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围. ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)函数定义域为0，+∞)， 又f6x)=(2+3)(a-1)x, 因为>0，x>0,故2+3>0， 当0x<1a时，x)0: 当x>1a时，fxP0: 所以函数x)在(0，la)上单调递减，在(la,十∞)上单调递增. (2)因为1)=a2+a+1>0且y=x)的图象与x轴没有公共点， 所以y=)的图象在x轴的上方， 由(1)中函数的单调性可得 fx)ain=f(la)=3-31n la =3+3In a, 故3+3lna>0,即a>1e, 所以a的取值范围为(Ie,十co) 4.(2022福建厦门模拟)已知函数fx)=e-2-x-1 (1)当a=1时，求曲线y=)在点(1,1)处的切线的方程： (2)若x)≥0，求实数a的取值范围 解：(1)当a=1时，x)=e2-x2-x-1, 当x=1时，1)=e-1-1-1=e-3,切点为1，e-3), 求导得fx)=e-2x-1, 故切线斜率k=f1)=e一3， 所以曲线y=x)在点(1,1)》处的切线方程为y=(c一3x (2)术x)≥0等价于e≥ax2+x+1恒成立， 当a>0时，上式不恒成立，证明如下： 当x0时，e<1,当x<-1a时，a2+x+1=(m+1)+1>1,则e<2+x+1, 从而e≥2+x+1不恒成立， 当a≤0时，m2+x+1≤x+1, 下面先证明c≥x+1,即c一x一1≥0， 令hx)=e-x-1,则h'x)=e-1, 当x<0时，h'(x)0,x)单调递减： 当x>0时，h'(x>0,hx)单调递增， 所以hx)am=h(O)=0,即hx)≥0， 所以e≥x+1,而a2十x+1≤x+1, 故e≥a2+x+1, 综上，若x)≥0，则实数a的取值范围为（一∞，0] ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B组高考热身练 5.(2022河北保定高三期末)已知函数x)=(x一2)e (1)若a∈(0，+∞)，讨论fx)在(0，a上的单调性： (2)若函数gx)=f-mx-1)2在[1,2]上的最大值小于一23，求m的取值范围. 解：(1)f)=(c-1)e 令fx)0,得1：令fx)P0,得1 当a∈0,1]时，x)在(0，a)上单调递减： 当a∈，十∞)时，x)在(0,1)上单调递减，在(，a)上单调递增 (2)由题意得g'(x)=(c-1)(e一2m) 若m≤0，e-2m>0, 则gx)在[1,2]上单调递增， gxmm=g(2)=一m≥0，不合题意： 若0<m≤e2,则gx)在[1,2]上单调递增， gcx)mm=